Corrigé

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1. $626u+236v=2$ est une équation diophantienne.
On va chercher la valeur de $PGCD(626;236)$.
On va effectuer des divisions euclidiennes successives et utiliser le lemme d'Euclide.
Etape 1: $626=236×2+154$ avec $0≤154 < 236$
Etape 2: $236=154×1+82$ avec $0≤82< 154$
Etape 3: $154=82×1+72$ avec $0≤72 < 82$
Etape 4: $82=72×1+10$ avec $0≤10< 72$
Etape 5: $72=10×7+2$ avec $0≤2< 10$
Etape 6: $10=2×5+0$
On a donc: $PGCD(626;236)=PGCD(236;154)=...PGCD(2;0)=$$2$
Comme le pgcd trouvé divise le membre de droite de l'équation diophantienne, cette dernière admet des solutions.

On peut trouver $u$ et $v$ en "remontant" l'algorithme d'Euclide, en isolant les restes obtenus, et en procédant par substitutions successives.
Le but est d'obtenir une égalité du type $626u+236v=2$, et par là, 626 et 236 doivent rester apparents dans les calculs.
L'étape 5 nous donne: $72-10×7=2$  (a).
L'étape 4 nous donne: $82-72×1=10$  (b).
L'étape 3 nous donne: $154-82×1=72$  (c).
L'étape 2 nous donne: $236-154×1=82$  (d).
L'étape 1 nous donne: $626-236×2=154$  (e).
Et en reportant dans (d), on obtient:   $236-(626-236×2)×1=82$
Soit, en développant: $-626+236×3=82$.
Puis en reportant dans (c), on obtient:   $(626-236×2)-(-626+236×3)×1=72$
Soit, en développant: $626×2-236×5=72$.
Puis en reportant dans (b), on obtient:   $(-626+236×3)-(626×2-236×5)×1=10$
Soit: $-626×3+236×8=10$
Puis en reportant dans (a), on obtient:   $(626×2-236×5)-(-626×3+236×8)×7=2$
Soit: $626×23-236×61=2$
$u=23$ et $v=-61$ conviennent.

2. On a: $39u+28v=1$     $⇔$     $u={1}/{39}(1-28v)$
On utilise le tableau de valeurs de la calculatrice avec la fonction $f(x)={1}/{39}(1-28x)$ pour des $x$ entiers relatifs.
On recherche un $x$ pour lequel $f(x)$ est entier. On trouve, par exemple: $x=7$, qui donne $f(7)=-5$.
Par conséquent: si $u=-5$ et $v=7$, alors: $39u+28v=1$ Et par là, d'après le théorème de Bézout: $PGCD(39;28)=1$. Les entiers 39 et 28 sont premiers entre eux.

3. On a: $PGCD(x;y)=14$.
Donc il existe 2 entiers naturels $k$ et $k'$ premiers entre eux tels que $x=14k$ et $y=14k'$.
Et comme $x+y=168$, on obtient: $14k+14k'=14×12$, et donc: $k+k'=12$.
Or, comme $x ≤ y$, on a $k ≤ k'$, et les paires possibles pour $(k;k')$ sont donc :
$(1;11)$, $(2;10)$, $(3;9)$, $(4;8)$, $(5;7)$, $(6;6)$.
Le fait que $k$ et $k'$ soient premiers entre eux élimine certaines paires. Il reste:
$(1;11)$ et $(5;7)$.
Et donc, en multipliant par 14, on obtient: $(x;y)=(14;154)$ ou $(x;y)=(70;98)$.
A chaque fois, on a bien $x+y=168$
Et par là: $S=\{\,(14;154)\,;\,(70;98)\,\}$.