Corrigé

1. Clique ICI pour revoir le cours sur la divisibilité.
$a^2=39+b^2$     $⇔$   $a^2-b^2=39$    $⇔$   $(a-b)(a+b)=39$   (1)
Comme $a$ et $b$ sont des entiers naturels, $a+b$ et $a-b$ sont aussi des entiers, et, d'après (1), ils divisent chacun 39.
On note de plus que: $a-b≤a+b$.
Et par ailleurs, comme la somme $a+b$ est positive, la différence $a-b$ le sera également car 39 est positif.
Finalement, $a+b$ et $a-b$ sont à chercher parmi les diviseurs positifs de 39, avec $a-b≤a+b$.
Or les diviseurs positifs de 39 sont: 1, 3, 13 et 39.
Par conséquent: (1)    $⇔$   $\{\table a-b=1;a+b=39$    ou    $\{\table a-b=3;a+b=13$
Soit: (1)    $⇔$   $\{\table a=20;b=19$    ou    $\{\table a=8;b=5$
Réciproquement, les couples $(20;19)$ et $(8;5)$ vérifient bien l'équation étudiée.
En conclusion, les entiers naturels $a$ et $b$ tels que $a^2=39+b^2$ sont:
soit: $a=20$ et $b=19$   ,    soit: $a=8$ et $b=5$

2. Clique ICI pour revoir le cours sur la divisibilité.
Les diviseurs de 5 sont: $-5$, $-1$, $1$ et $5$.

Si $n+4$ divise $2n+13$, alors, comme $n+4$ divise $n+4$, on obtient (par combinaison linéaire):
$n+4$ divise $(2n+13)-2(n+4)$.
Soit: $n+4$ divise $5$.
Donc: $n+4=-5$    ou    $n+4=-1$    ou   $n+4=1$   ou   $n+4=5$
Et donc: $n=-9$   ou   $n=-5$   ou   $n=-3$   ou   $n=1$.

Réciproquement, on vérifie que ces valeurs conviennent (par exemple, pour $n=-9$, on note que $n+4=-5$ divise bien $2n+13=-5$).

En conclusion, l'ensemble des entiers relatifs solutions est $\{ -9 ; -5 ; -3 ; 1 \}$

3. Clique ICI pour revoir le cours sur la division euclidienne.
On considère $p=n(n^2-4)=n(n+2)(n-2)$, où $n$ est un entier relatif.
$n$ peut s'écrire soit $3k$, soit $3k+1$, soit $3k+2$ (où $k$ est un entier naturel).

• Si $n=3k$, alors $p=3k(3k+2)(3k-2)=3k'$, avec $k'=k(3k+2)(3k-2)$ entier relatif.
  On constate donc que $p$ est bien divisible par 3.
• Si $n=3k+1$, alors $p=(3k+1)(3k+3)(3k-1)=3(3k+1)(k+1)(3k-1)=3k'$, avec $k'=(3k+1)(k+1)(3k-1)$ entier relatif.
  On constate donc que $p$ est bien divisible par 3.
• Si $n=3k+2$, alors $p=(3k+2)(3k+4)(3k)=3(3k+2)(3k+4)k=3k'$, avec $k'=(3k+2)(3k+4)k$ entier relatif.
  On constate donc que $x$ est bien divisible par 3.

On a donc prouvé que, dans tous les cas, $x$ est divisible par 3.

4. Clique ICI pour revoir le cours sur la division euclidienne.
On effectue la division euclidienne de $-23$ par $b$, dont le reste vaut 7.
On obtient: $-23=b×q+7$ et $0≤7 < b$
Soit: $bq=-30$ et $7 < b$
Donc $b$ est un diviseur de $-30$.
Or les diviseurs de $-30$ sont $-30$ , $-15$ , $-10$ , $-6$ , $-5$ , $-3$ , $-2$ , $-1$ , $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $6$ , $10$ , $15$ et $30$.
Et on a vu que : $7 < b$
Donc: $b=10$ ou $b=15$ ou $b=30$.
Et par là, comme $bq=-30$, on obtient : $q=-3$ ou $q=-2$ ou $q=-1$.
On a donc montré que, nécessairement: $b=10$ et $q=-3$
ou $b=15$ et $q=-2$
ou $b=30$ et $q=-1$.
Réciproquement, ces couples conviennent (on a bien: $-23=b×q+7$ et $0≤7 < b$ ).