Suites numériques, modèles discrets
A SAVOIR: le cours sur les suites
Exercice 1
Un exercice répétitif pour apprendre les opérations sur les limites de suites.
- Soit $(f_n)$ la suite définie par $f_n={5}/{n^2}$ pour tout naturel $n$.
Déterminer $\lim↙{n→+∞}f_n$. - Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=-4n^2-√{n}+11$ pour tout naturel $n$.
Déterminer $\lim↙{n→+∞}u_n$. - Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n={9-{2}/{n}}/{{1}/{√{n}}-1}$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 2.
Déterminer $\lim↙{n→+∞}v_n$. - Soit $(r_n)$ la suite définie par $r_n={1-0,98^n}/{1-n^2}$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 2.
Déterminer $\lim↙{n→+∞}r_n$. -
Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n=-n^3+3n^2-2n$ pour tout naturel $n$.
Vérifier que l'expression proposée conduit à une forme indéterminée si l'on cherche $\lim↙{n→+∞}w_n$.
On constate alors que: $w_n=n^3(-1+{3}/{n}-{2}/{n^2})$.
Déterminer alors $\lim↙{n→+∞}w_n$. - Soit $(t_n)$ la suite définie par $t_n={n+9}/{-n+7}$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 8.
Vérifier que l'expression proposée conduit à une forme indéterminée si l'on cherche $\lim↙{n→+∞}t_n$.
Vérifier alors que: $t_n={1+{9}/{n}}/{-1+{7}/{n}}$.
Déterminer $\lim↙{n→+∞}t_n$. - Soit $(p_n)$ la suite définie par $p_n={8n^2+1}/{n+2}$ pour tout naturel $n$.
Vérifier que l'expression proposée conduit à une forme indéterminée si l'on cherche $\lim↙{n→+∞}t_n$.
Vérifier alors que: $p_n=n{8+{1}/{n^2}}/{1+{2}/{n}}$.
Déterminer $\lim↙{n→+∞}p_n$.
Corrigé
-
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- On a: $\lim↙{n→+∞}5=5$ et $\lim↙{n→+∞}n^2=+∞$.
Donc: $\lim↙{n→+∞}f_n=0$ (limite d'un quotient). - $u_n=-4n^2-√{n}+11$
On a: $\lim↙{n→+∞}-4=-4$ et $\lim↙{n→+∞}n^2=+∞$.
Or -4<0. Donc $\lim↙{n→+∞}-4n^2=-∞$ (limite d'un produit).
Par ailleurs $\lim↙{n→+∞}√{n}=+∞$. Donc $\lim↙{n→+∞}-√{n}=-∞$.
Enfin $\lim↙{n→+∞}11=11$.
On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}u_n=-∞$ (limite d'une somme).
- $v_n={9-{2}/{n}}/{{1}/{√{n}}-1}$
$\lim↙{n→+∞}{1}/{n}=0$. Or $-{2}/{n}=(-2)×{1}/{n}$. Donc $\lim↙{n→+∞}-{2}/{n}=(-2)×0=0$.
Par ailleurs $\lim↙{n→+∞}9=9$.
Donc $\lim↙{n→+∞}9-{2}/{n}=9-0=9$ (limite d'une somme).
De même, on a $\lim↙{n→+∞}{1}/{√{n}}-1=0-1=-1$ (limite d'une somme).
On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}v_n={9}/{-1}=-9$ (limite d'un quotient). - $r_n={1-0,98^n}/{1-n^2}$
$-1$<$0,98$<$1$, donc $\lim↙{n→+∞}(0,98^n)=0$.
Donc $\lim↙{n→+∞}(1-0,98^n)=1-0=1$.
Par ailleurs, comme $\lim↙{n→+∞}n^2=+∞$, on a $\lim↙{n→+∞}-n^2=-∞$.
Et par là: $\lim↙{n→+∞}1-n^2=-∞$ (limite d'une somme)
On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}r_n=0$ (limite d'un quotient). - $w_n=-n^3+3n^2-2n$
On obtient facilement $\lim↙{n→+∞}-n^3=-∞$ et $\lim↙{n→+∞}3n^2=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
On factorise alors le terme "dominant" de la somme $w_n$.
$w_n=n^3(-1+{3}/{n}-{2}/{n^2})$.
Or $\lim↙{n→+∞}n^3=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}-1+{3}/{n}-{2}/{n^2}=-1+0-0=-1$.
On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}w_n=-∞$ (limite d'un produit). - $t_n={n+9}/{-n+7}$
On obtient facilement $\lim↙{n→+∞}n+9=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}-n+7=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
On factorise alors les termes "dominants" du quotient $t_n$ et on simplifie.
$t_n={n(1+{9}/{n})}/{n(-1+{7}/{n})}={1+{9}/{n}}/{-1+{7}/{n}}$.
Or $\lim↙{n→+∞}1+{9}/{n}=1+0=1$ et $\lim↙{n→+∞}-1+{7}/{n}=-1+0=-1$.
Donc on obtient finalement $\lim↙{n→+∞}t_n={1}/{-1}=-1$ (limite d'un produit). - $p_n={8n^2-n+1}/{n+2}$
On obtient facilement $\lim↙{n→+∞}8n^2+1=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}n+2=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
On factorise alors les termes "dominants" du quotient $p_n$ et on simplifie.
$p_n={8n^2+1}/{n+2}={n^2(8+{1}/{n^2})}/{n(1+{2}/{n})}=n{8+{1}/{n^2}}/{1+{2}/{n}}$.
Or $\lim↙{n→+∞}n=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}{8+{1}/{n^2}}/{1+{2}/{n}}={8+0}/{1+0}=8$.
Donc finalement $\lim↙{n→+∞}p_n=+∞$ (limite d'un produit).