Maths Complémentaires en Terminale

L'essentiel pour réussir

Suites numériques, modèles discrets

Un conseil: revoir le cours sur les suites de la classe de première!

Quelques rappels de première

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $a$ si et seulement si
pour tout naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+a$.
(ici, la suite est donnée par une formule de récurrence)

$(u_n)$ est arithmétique de raison $a$ si et seulement si
pour tout naturel $n$, $u_{n}=u_0+na$.
(ici, la suite est donnée par une formule explicite)

Pour tout entier naturel $n$, on a: $1+2+...+n={n(n+1)}/{2}$.

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si et seulement si
pour tout naturel $n$, $u_{n+1}=u_n× q$.
(ici, la suite est donnée par une formule de récurrence)

$(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si et seulement si
pour tout naturel $n$, $u_{n}=u_0× q^n$.
(ici, la suite est donnée par une formule explicite)

Pour tout réel $q$ (avec $q≠1$),on a: $1+q+q^2+...+q^n={1-q^{n+1}}/{1-q}$.

Savoir faire
Pour montrer qu'une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$, on essaie en général de prouver la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n× q$.
Mais, si cela semble difficile, on essaie alors de prouver la relation explicite $u_{n}=u_0× q^n$.
Quelle que soit la méthode, les relations doivent être vérifiées pour tout naturel $n$.
Il ne faut pas se contenter de faire quelques vérifications avec des valeurs de $n$ particulières!

A retenir
Une augmentation régulière de $a$ est associée à une suite arithmétique de raison $a$.
Une augmentation régulière de $t\%$ est associée à une suite géométrique de raison $1+t\%$.
Une baisse régulière de $t\%$ est associée à une suite géométrique de raison $1-t\%$.


I Limites de référence

Limite infinie

La suite $(u_n)$ a pour limite $+∞$ quand tous les termes $u_n$ deviennent aussi grands que l'on veut pourvu que $n$ soit suffisamment grand.
On note $\lim↙{n→+∞}u_n=+∞$.

La suite $(u_n)$ a pour limite $-∞$ quand tous les termes $u_n$ deviennent aussi "négatifs" que l'on veut pourvu que $n$ soit suffisamment grand.
On note $\lim↙{n→+∞}u_n=-∞$.

Exemple

Soit $u$ la suite définie par $u_n=3n^2-5$ pour tout naturel $n$.
Repprésenter graphiquement $(u_n)$ pour $n$ entre 0 et 5.
Déterminer graphiquement $\lim↙{n→+∞}u_n=+∞$.

Solution...
Corrigé

fig1
Graphiquement, on note que: $\lim↙{n→+∞}u_n=+∞$.

Réduire...

Limites de référence

$\lim↙{n→+∞}n=+∞$   $\lim↙{n→+∞}n^2=+∞$   $\lim↙{n→+∞}n^3=+∞$   $\lim↙{n→+∞}√{n}=+∞$


Limite finie

La suite $(u_n)$ a pour limite $l$ quand tous les termes $u_n$ deviennent aussi proches de $l$ que l'on veut pourvu que $n$ soit suffisamment grand.

On note $\lim↙{n→+∞}u_n=l$.
On dit que la suite converge vers $l$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=3+{1}/{n}$ pour tout naturel $n$ non nul.
Conjecturer à l'aide de la calculatrice la valeur de $\lim↙{n→+∞}u_n$.

Solution...
Corrigé

On calcule par exemple: $u_1=4$, $u_{10}=3,1$, $u_{100}=3,01$, $u_{1000}=3,001$
Il semble que les valeurs de $u_n$ tendent vers 3.
On conjecture que: $\lim↙{n→+∞}u_n=3$.

Réduire...

Propriétés

La limite d'une suite est unique.

Si $\lim↙{n→+∞}u_n$ existe, alors $\lim↙{n→+∞}u_n=\lim↙{n→+∞}u_{n+1}$

Suite stationnaire

Soit $l$ un nombre réel; si $u_n=l$ à partir d'un certain rang, alors $\lim↙{n→+∞}u_n=l$.

Limites de référence

$\lim↙{n→+∞}{1}/{n}=0$   $\lim↙{n→+∞}{1}/{n^2}=0$   $\lim↙{n→+∞}{1}/{n^3}=0$   $\lim↙{n→+∞}{1}/{\√{n}}=0$

Limite de $(q^n)$

Si $q$>$1$, alors $\lim↙{n→+∞}(q^n)=+∞$.
Si $q=1$, alors $\lim↙{n→+∞}(q^n)=1$.
Si $-1$<$q$<$1$, alors $\lim↙{n→+∞}(q^n)=0$.
Si $q≤-1$, alors la suite $(q^n)$ n'a pas de limite.


Définition

La suite $(u_n)$ diverge lorsqu'elle a une limite infinie ou lorsqu'elle n'a pas de limite.


II Opérations et limites

Opérations

La détermination de la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de 2 suites est intuitive, et vérifie les tableaux ci-dessous.
Si, dans un exercice, vous êtes confronté à une forme indéterminée (notée FI dans le tableau), alors vous serez guidés pour pouvoir déterminer la limite.
fig2

Astuce
Dans une expression, toute constante peut être considérée comme une suite stationnaire, dont la limite est elle-même.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $u_0=10$.
On pose $S_n=u_0+u_1+u_2+...+u_n$
Déterminer $\lim↙{n→+∞}u_n$ et $\lim↙{n→+∞}S_n$.

Solution...
Corrigé

Comme $(u_n)$ est géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $u_0=10$, on a: $u_n=10×0,9^n$ (pour tout naturel $n$).
Comme $-1$<$0,9$<$1$, on a: $\lim↙{n→+∞}(0,9^n)=0$.
Or $\lim↙{n→+∞}10=10$ (en général, cette ligne est omise).
Donc $\lim↙{n→+∞}(u_n)=10×0=0$ (limite d'un produit).

On a: $S_n=10+10×0,9+10×0,9^2+...+10×0,9^n$
Soit: $S_n=10(1+0,9+0,9^2+...+0,9^n)=10{1-0,9^{n+1}}/{1-0,9}$
Soit: $S_n=10{1-0,9×0,9^n}/{0,1}$
Or, comme $-1$<$0,9$<$1$, on a: $\lim↙{n→+∞}(0,9^n)=0$.
De plus, la limite d'une suite constante est la contante elle-même (en général, cette ligne est omise).
Et donc: $\lim↙{n→+∞}(S_n)=10×{1-0,9×0}/{0,1}=100$ (par opération sur les limites).

Réduire...

Savoir faire
Etre capable de déterminer une limite de suite géométrique, ou une limite de la somme des termes d’une suite géométrique de raison positive et strictement inférieure à 1.

Exemple

Voici une application classique des suites géométriques.
Une somme de 1000 euros est placée à intérêts composés au taux de 0,2% par mois.
Soit $(u_n)$ le capital disponible au bout de $n$ mois.

  1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout entier naturel $n$.
    En déduire la nature de $(u_n)$.
    Donner alors une formule explicite donnant $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
  2. Déterminer $\lim↙{n→+∞}u_n$.
  3. Donner le sens de variation de $(u_n)$.
  4. Soit A un nombre donné quelconque. Il existe une valeur de $n$ à partir de laquelle tous les termes $u_n$ sont supérieurs à A. Pourquoi?
    Ecrire l'algorithme d'une fonction d'un nombre A donné, appelée min(A), qui renvoie le plus petit rang $n_0$ à partir duquel $u_n$ est supérieur à A.
    Que renvoie cette fonction pour A=1100?
    Pourquoi votre algorithme fournit-il effectivement le plus petit $n_0$ convenable?
  5. Ecrire en PYTHON un programme convenable pour la fonction min(A)
Solution...
Corrigé
  1. $u_{n+1}=u_n+{0,2}/{100}u_n=(1+0,002)u_n=1,002u_n$ (pour tout entier naturel $n$).
    Donc $(u_n)$ est géométrique de raison 1,002.
    Donc $u_n=1,002^nu_0=1,002^n×1000$ (pour tout entier naturel $n$).
  2. $1,002\text">"1$, donc $\lim↙{n→+∞}1,002^n=+∞$.
    Par ailleurs, $\lim↙{n→+∞}1000=1000$. (cette ligne est souvent omise)
    Et comme 1000>0, on obtient $\lim↙{n→+∞}u_n=+∞$.
  3. $1,002\text">"1$, donc $(1,002^n)$ est strictement croissante (voir cours de première).
    Et comme 1000>0, $(1,002^n×1000)$ est strictement croissante (voir cours de première).
    Donc $(u_n)$ est strictement croissante.
  4. Il existe une valeur de $n$ à partir de laquelle tous les termes $u_n$ sont supérieurs à A car $\lim↙{n→+∞}u_n=+∞$.

    Une fonction convenable:
    définition de la fonction min(A)
    N $←$ 0
    U ← 1000
    Tant que U$≤$A
        U $←$ Ux1,002
        N $←$ N+1
    Fin du Tant que
    La valeur renvoyée est N

    Pour A=1100, la fonction renvoie 48 (c'est la valeur de $n_0$).

    La fonction fournit effectivement le plus petit $n_0$ convenable car $(u_n)$ est croissante.
  5. Voici un programme convenable pour la fonction min(A)
    fig3
Réduire...
Exemples
  1. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=(3n^2+n-5)√{n}$ pour tout naturel $n$.
    Déterminer $\lim↙{n→+∞}u_n$.
  2. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n={{5}/{n^2}+9}/{√{n}-1}$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 2.
    Déterminer $\lim↙{n→+∞}v_n$.
  3. Soit $(r_n)$ la suite définie par $r_n={3+0,4^n}/{2,1^n-6}$ pour tout naturel $n$.
    Déterminer $\lim↙{n→+∞}r_n$.
Solution...
Corrigé
Les limites de constantes citées ci-dessous peuvent être omises.)
  1. $\lim↙{n→+∞}n^2=+∞$. Or 3>0. Donc $\lim↙{n→+∞}3n^2=+∞$ (limite d'un produit).
    Par ailleurs $\lim↙{n→+∞}n=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}-5=-5$.
    Donc $\lim↙{n→+∞}3n^2+n-5=+∞$ (limite d'une somme).
    Par ailleurs $\lim↙{n→+∞}√{n}=+∞$.
    On rappelle alors que $u_n=(3n^2+n-5)√{n}$.
    On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}u_n=+∞$ (limite d'un produit).

  2. $\lim↙{n→+∞}{1}/{n^2}=0$. Or ${5}/{n^2}=5{1}/{n^2}$. Donc $\lim↙{n→+∞}{5}/{n^2}=5×0=0$.
    Par ailleurs $\lim↙{n→+∞}9=9$.
    Donc $\lim↙{n→+∞}{5}/{n^2}+9=0+9=9$ (limite d'une somme).
    Par ailleurs, comme $\lim↙{n→+∞}√{n}=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}-1=-1$,
    on obtient $\lim↙{n→+∞}√{n}-1=+∞$ (limite d'une somme).
    On rappelle alors que $v_n={{5}/{n^2}+9}/{√{n}-1}$.
    On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}v_n=0$ (limite d'un quotient).

  3. $-1$<$0,4$<$1$, donc $\lim↙{n→+∞}(0,4^n)=0$.
    Or $\lim↙{n→+∞}3=3$. Donc $\lim↙{n→+∞}(3+0,4^n)=3$.
    Par ailleurs, $2,1\text">"1$, donc $\lim↙{n→+∞}2,1^n=+∞$.
    Et comme $\lim↙{n→+∞}-6=-6$, on obtient $\lim↙{n→+∞}2,1^n-6=+∞$.
    On rappelle alors que $r_n={3+0,4^n}/{2,1^n-6}$.
    On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}r_n=0$ (limite d'un quotient).
Réduire...
Exemple

Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n=5n^2-n+2$ pour tout naturel $n$.
Vérifier que l'étude de la limite conduit à une forme indéterminée.
On constate alors que: $w_n=n^2(5-{1}/{n}+{2}/{n^2})$.
Déterminer $\lim↙{n→+∞}w_n$.

Solution...
Corrigé

On obtient facilement $\lim↙{n→+∞}5n^2=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}-n=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
On a: $w_n=n^2(5-{1}/{n}+{2}/{n^2})$.
Or $\lim↙{n→+∞}n^2=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}5-{1}/{n}+{2}/{n^2}=5-0+0=5$.
On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}w_n=+∞$ (limite d'un produit).

Réduire...
Exemple

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.
$f$ est représentée par la parabole ci-dessous.
On a également représenté la droite $d$ d'équation $y=x$ (les points de cette droite ont donc des abscisses égales à leurs ordonnées).
fig4
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout naturel $n$ par $u_{n+1}=f(u_n)$
A l'aide du graphique précédent, représenter $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$ et conjecturer la valeur de $\lim↙{n→+∞}(u_n)$ dans chacun des cas suivants:

  1. $u_0=0,6$
  2. $u_0=1,1$
Solution...
Corrigé
  1. On place $u_0$ sur l'axe des abscisses.
    On cherche alors $u_1=f(u_0)$ sur l'axe des ordonnées.
    On reporte cette valeur sur l'axe des abscisses grace à la droite $d$. fig5
    Et on réitère la construction pour obtenir $u_2$.
    fig6
    Et on réitère la construction pour obtenir $u_3$.
    fig7
    On conjecture alors que $\lim↙{n→+∞}(u_n)=0$

  2. On place $u_0$ sur l'axe des abscisses.
    On cherche alors $u_1=f(u_0)$ sur l'axe des ordonnées.
    On reporte cette valeur sur l'axe des abscisses grace à la droite $d$. fig8
    Et on réitère la construction pour obtenir $u_2$ et $u_3$.
    fig9
    On conjecture alors que $\lim↙{n→+∞}(u_n)=+∞$
Réduire...

Savoir faire
Etre capable de conjecturer graphiquement une limite de suite définie par une relation de récurrence de type $u_{n+1}=f(u_n)$ pour une fonction $f$ "sympathique".


III Comparaisons et limites

Théorème de comparaison

Si $\lim↙{n→+∞}u_n=+∞$   et    si, à partir d'un certain rang, $v_n≥u_n$,
alors $\lim↙{n→+∞}v_n=+∞$.

Propriété

Si $\lim↙{n→+∞}u_n=l$   et    si la suite $(u_n)$ est croissante,
alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n≤l$.

Théorème des gendarmes

Si $\lim↙{n→+∞}u_n=l$   et    si $\lim↙{n→+∞}w_n=l$   et    si, à partir d'un certain rang, $u_n≤v_n≤w_n$,
alors $\lim↙{n→+∞}v_n=l$.

Exemples
  1. Déterminer $\lim↙{n→+∞}2n^2-1$.
    Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=2n^2+\sin n$ pour tout naturel $n$.
    Par comparaison, déterminer $\lim↙{n→+∞}u_n$.
  2. Soit $(w_n)$ une suite telle que $\lim↙{n→+∞}w_n=5$ et $w_8=6$.
    Qu'en déduire?
  3. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n={(-1)^n}/{n^3+2}$ pour tout naturel $n$.
    Déterminer $\lim↙{n→+∞}v_n$ en utilisant le théorème des gendarmes.
Solution...
Corrigé
  1. Comme $\lim↙{n→+∞}2n^2=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}-1=-1$, on a: $\lim↙{n→+∞}2n^2-1=+∞$.

    Pour tout naturel $n$, $\sin n≥-1$.
    Donc, pour tout naturel $n$: $2n^2+\sin n≥2n^2-1$, soit: $u_n≥2n^2-1$.

    On a donc $u_n≥2n^2-1$ et $\lim↙{n→+∞}2n^2-1=+∞$.
    Par comparaison, on obtient: $\lim↙{n→+∞}u_n=+∞$.

  2. $\lim↙{n→+∞}w_n=5$, donc, si la suite $(w_n)$ est croissante,
    alors, pour tout entier naturel $n$, $w_n≤5$.
    Or $w_8=6$, et par là $w_8\text">"5$.
    Par conséquent, la suite $(w_n)$ n'est pas croissante.
    Attention, cela ne signifie pas qu'elle est décroissante!

  3. Pour tout naturel $n$, $-1≤(-1)^n≤1$, et donc: ${-1}/{n^3+2}≤v_n≤{1/{n^3+2}$.
    Or, comme $\lim↙{n→+∞}n^3=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}2=2$, on a: $\lim↙{n→+∞}n^3+2=+∞$,
    et par là, comme $\lim↙{n→+∞}-1=-1$, on a: $\lim↙{n→+∞}{-1}/{n^3+2}=0$,
    et comme $\lim↙{n→+∞}1=1$, on a: $\lim↙{n→+∞}{1}/{n^3+2}=0$.
    Donc, d'après le "théorème des gendarmes", on obtient: $\lim↙{n→+∞}v_n=0$.
Réduire...

IV Suites arithmético-géométriques

Définition

Soit $a$ et $b$ sont deux réels fixés.
Une suite $(u_n)$ est arithmético-géométrique de paramètres $a$ et $b$ si et seulement si
elle satisfait à une relation de récurrence du type $u_{n+1}=a×u_n+b$.
Si $a=1$, alors une telle suite est arithmétique de raison $b$.
Si $b=0$, alors une telle suite est géométrique de raison $a$.

Propriété

La recherche d'une formule explicite pour une suite arithmético-géométrique $(u_n)$ de paramètres $a$ et $b$ se fait en 3 étapes.

  • On recherche le nombre $l$ tel que $l=al+b$.
  • On démontre que la suite $(v_n)$ définie pour tout naturel $n$ par l'égalité $v_n=u_n-l$ est géométrique de raison $a$.
  • On détermine alors une formule explicite pour $(v_n)$, puis pour $(u_n)$.
Exemple

Au premier janvier de l'année 1950, la population d'une certaine ville V était de $100\, 000$ habitants.
Depuis, chaque année, 10% des habitants quittent la ville.
Pour lutter contre ce phénomène, l'état incite 3 000 personnes à s'y installer chaque année.
Soit $u_n$ la population au premier janvier de l'année 1950+$n$.
Ainsi, on a: $u_0=100\,000$.
1. Que dire de $(u_n)$?
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout naturel $n$.
3. Déterminer $\lim↙{n→+∞}(u_n)$ et conclure.

Solution...
Corrigé

1. On rappelle qu'une baisse de 10% est associée à un coefficient multiplicateur égal à $1-10/100=0,90$. Ainsi, $P$ diminué de 10% devient $0,90×P$.
On constate ici que, pour tout naturel $n$, $u_{n+1}=0,90×u_n+3\,000$.
Par conséquent, $(u_n)$ est arithmético-géométrique de paramètres $a=0,90$ et $b=3\,000$.

2. Recherchons une formule explicite pour $(u_n)$ en 3 étapes.
Etape 1
On a: $l=al+b$ $⇔$ $l=0,90l+3\,000$ $⇔$ $0,10l=3\,000$ $⇔$ $l={3\,000}/{0,10}=30\,000$
Etape 2
On considère alors la suite $v_n$ définie par $v_n=u_n-30\,000$, pour tout naturel $n$.
Montrons que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a=0,90$.
Soit $n$ un entier naturel; $v_{n+1}=u_{n+1}-30\,000=0,90×u_n+3\,000-30\,000=0,90×u_n-27\,000$.
Or: $0,90×v_n=0,90×(u_n-30\,000)=0,90×u_n-0,90×30\,000=0,90×u_n-27\,000$.
Donc: $v_{n+1}=0,90×v_n$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $n$.
Donc $(v_n)$ est bien géométrique de raison $0,90$.
Etape 3
Notons que $v_0=u_0-30\,000=100\,000-30\,000=70\,000$.
Comme $(v_n)$ est géométrique de raison $0,90$ et de premier terme $70\,000$, on obtient: $v_n=70\,000×0,90^n$.
Par ailleurs, comme $v_n=u_n-30\,000$, on obtient: $v_n+30\,000=u_n$.
Ce qui donne finalement: $70\,000×0,90^n+30\,000=u_n$.

3. Comme $0$<$0,90$<$1$, on a: $\lim↙{n→+∞}(0,90^n)=0$.
Donc $\lim↙{n→+∞}(70\,000×0,90^n)=0$.
Donc $\lim↙{n→+∞}(70\,000×0,90^n+30\,000)=30\,000$. Soit $\lim↙{n→+∞}(u_n)=30\,000$.
Par conséquent, la population de la ville V tend vers $30\,000$ habitants.

Réduire...

Savoir faire
Etre capable de déterminer une formule explicite pour une suite arithmético-géométrique.

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