Fonctions sinus et cosinus
A SAVOIR: le cours sur sinus et cosinus
Exercice 4
Cet exercice utilise les cours sur les limites, la continuité et la dérivation.
Soit la fonction $\tan$ définie sur $[0;{π}/{2}[$ par : $\tan x={\sin x}/{\cos x}$ et $Γ$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
On considère également la fonction $g$ définie sur $]0;+∞[$ par $g(x)={3x}/{x^2+5}$ et on nomme $C$ sa courbe représentative dans un autre repère orthonormé .
On considère également la fonction $f$ définie sur $]0;+∞[$ par $f(x)=x+{5}/{x}$ et on nomme $C$ sa courbe représentative dans un autre repère orthonormé .
1. Montrer que la fonction $tan$ admet le tableau de variation suivant:
2.a. Pour quelle valeur de $x$ la fonction $f$ atteint-elle son minimum?
2.b. Montrer que $g$ atteint son maximum lorsque $f$ atteint son minimum.
3.a. Soit $a$ un réel strictement positif. Montrer que l'équation $\tan x=g(a)$ admet une solution unique $x_0$ sur $[0;{π}/{2}[$.
3.b. Pour quelle valeur de $a$ la solution $x_0$ est-elle maximale?
Corrigé
1. On a: $\tan x={\sin x}/{\cos x}$.
On pose $u=\sin x$ et $v=\cos x$.
Donc $u'=\cos x$ et $v'=-\sin x$.
Ici $\tan={u}/{v}$ et donc $\tan'={u'v-uv'}/{v^2}$.
Donc $\tan'(x)={cos x ×\cos x-\sin x ×(-\sin x)}/{(\cos x)^2}$
Soit: $\tan'(x)={cos^2 x +\sin^2 x}/{\cos^2 x$
Soit: $\tan'(x)={1}/{\cos^2 x$
$\tan'(x)$ est donc un quotient. Le numérateur, 1, est strictement positif. Le dénominateur est un carré, et donc il est positif.
Il est même strictement positif car $x$ est dans $[0;{π}/{2}[$.
Donc $\tan' x$ reste strictement positive sur $[0;{π}/{2}[$.
Donc la fonction $\tan$ est strictement croissante sur $[0;{π}/{2}[$.
Par ailleurs, $\tan 0={0}/{1}=0$.
Il reste à prouver que $\lim↙{x→{{π}/{2}}^{-}}\tan x=+∞$.
On a: $\lim↙{x→{{π}/{2}}^{-}}\sin x=0^{+}$ et $\lim↙{x→{{π}/{2}}^{-}}\cos x=\cos 0=1$ et 1>0.
Donc: $\lim↙{x→{{π}/{2}}^{-}}\tan x=+∞$ (limite d'un quotient).
Finalement $\tan$ admet effectivement le tableau de variation suivant:
2.a. On a: $f(x)=x+{5}/{x}=x+5×{1}/{x}$.
Donc: $f'(x)=1+5×({-1}/{x^2})={x^2-5}/{x^2}={(x-√{5})(x+√{5})}/{x^2}$.
Or, sur $]0;+∞[$, on a: $x+√{5}$>0 et $x^2$>0, et par là, $f'(x)$ est du signe de $x-√{5}$.
D'où le tableau donnant le sens de variation de $f$:
La fonction $f$ admet un minimum pour $x=√{5}$.
2.b. On a: $g(x)={3x}/{x^2+5}={3}/{{x^2+5}/{x}}={3}/{x+{5}/{x}}={3}/{f(x)}=3×{1}/{f(x)}$.
Donc: $g'(x)=3×{-f'(x)}/{(f(x))^2}$.
Comme $3$ et le dénominateur $(f(x))^2$ sont strictement positifs, $g'(x)$ est du signe de $-f'(x)$.
Et par là, $g$ varie en sens contraire de $f$.
Donc $g$ atteint son maximum lorsque $f$ atteint son minimum.
3.a. Notons tout d'abord que, pour tout nombre $a$ de $]0;+∞[$, on a: $g(a)$>0 (car $g(a)$ est un quotient de termes strictement positifs).
D'après le tableau de variation de $\tan$ du 1., la fonction $\tan$ est continue et strictement croissante sur $[0;{π}/{2}[$.
Or $g(a)$ est strictement supérieur à $\tan 0=0$, et $\lim↙{x→{{π}/{2}}^{-}}\tan(x)=+∞$
Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $\tan(x)=g(a)$ admet une unique solution $x_0$ sur $[0;{π}/{2}[$.
3.b. Comme $\tan$ est strictement croissante $[0;{π}/{2}[$, la solution $x_0$ est maximale lorsque $\tan x_0$ est maximale.
Et comme $\tan(x_0)=g(a)$, cela se produit lorsque $g(a)$ est maximale.
Et donc, d'après le 2., la solution $x_0$ est maximale pour $a=√{5}$.