Limites de fonctions
A SAVOIR: le cours sur les limites de fonctions
Exercice 4
Un exercice classique sur les calculs de limites.Attention! Cet exercice utilise la fonction logarithme népérien.
Soit $h$ la fonction définie par $h(x)={1+\ln x}/{x^2}$ sur $]0;+∞[$.
Déterminer $\lim↙{{}^{x→0}}h(x)$ et $\lim↙{x→+∞}h(x)$.-
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)={1+2\ln x}/{x}$ sur $]0;+∞[$.
Déterminer $\lim↙{{}^{x→0}}f(x)$ et $\lim↙{x→+∞}f(x)$.
En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe $\C_f$.
Corrigé
-
$h(x)={1+\ln x}/{x^2}$.
On a: $\lim↙{x→0}\ln x=-∞$, et donc: $\lim↙{x→0}1+\ln x=-∞$.
Par ailleurs: $\lim↙{x→0}x^2=0$ et $x^2$ reste strictement positif.
Donc $\lim↙{x→0}h(x)=-∞$ (limite d'un quotient).
On obtient facilement $\lim↙{x→+∞}1+\ln x=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
On factorise alors le terme "dominant" du numérateur.
$h(x)={\ln x}/{x}{1+{1}/{\ln x}}/{x}$.
Examinons le facteur de gauche.
On a: $\lim↙{x→+∞}{\ln x}/{x}=0$.
Examinons le facteur de droite.
Tout d'abord: $\lim↙{x→+∞} 1+{1}/{\ln x}=1+0=1$.
Et donc, comme $\lim↙{x→+∞}x=+∞$, on obtient: $\lim↙{x→+∞}{1+{1}/{\ln x}}/{x}=0$.
Donc, finalement: $\lim↙{x→+∞}h(x)=0×0=0$ (limite d'un produit) -
$f(x)={1+2\ln x}/{x}$.
On a: $\lim↙{x→0}\ln x=-∞$, et donc: $\lim↙{x→0}1+2\ln x=-∞$.
Par ailleurs: $\lim↙{x→0}x=0$ et $x$ reste strictement positif (sur $]0;+∞[$).
Donc $\lim↙{x→0}h(x)=-∞$ (limite d'un quotient)..
Donc la droite verticale d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote de la courbe $\C_f$ en $0$.
On obtient facilement $\lim↙{x→+∞}1+2\ln x=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}x=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
On factorise alors le terme "dominant" du numérateur.
$h(x)={\ln x}/{x}(1+{1}/{\ln x})$.
Examinons le facteur de gauche.
On a: $\lim↙{x→+∞}{\ln x}/{x}=0$.
Examinons le facteur de droite.
$\lim↙{x→+∞} 1+{1}/{\ln x}=1+0=1$.
Donc, finalement: $\lim↙{x→+∞}h(x)=0×0=0$ (limite d'un produit).
Donc la droite horizontale d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote de la courbe $\C_f$ en $+∞$.