Corrigé

• Un tiercé est ici un arrangement sans répétition de 3 éléments parmi 15 (les numéros des 3 premiers).
  On calcule donc: $\A_{15}^3={15!}/{12!}=15×14×13=2730$
  Il y a $2730$ tiercés possibles.


• Un tirage est un arrangement sans répétition de 3 éléments parmi 7 (les numéros des 3 boules).
  On calcule donc: $\A_{7}^3={7!}/{4!}=7×6×5=210$
  Il y a $210$ tirages possibles.
  Dénombrons maintenant les tirages dont le produit des numéros vaut 30.
  On a: $30=1×2×3×5$.
  On veut un produit de 3 nombres entre 1 et 7.
  Les seules possibilités sont: $30=1×6×5$ et $30=2×3×5$
  Donc un tirage favorable correspond à une permutation des numéros 1, 6 et 5 ou 2, 3 et 5.
  On calcule donc: $3!+3!=12$
  Il y a $12$ tirages dont le produit des numéros vaut 30.
  


• MAMIE a 5 lettres dont 2 identiques.
  Le rang des lettres A, I et E correspond à un arrangement sans répétition de 3 éléments parmi 5 (par exemple, pour MAMIE, cet arrangement est (2,4,5)).
  Une fois ces 3 lettres placées, les deux M vont dans les places restantes.
  On dénombre donc le nombre d'arrangements sans répétition de 3 éléments parmi 5.
  On calcule donc: $\A_5^3={5!}/{2!}=5×4×3=60$
  Le mot MAMIE possède donc $60$ anagrammes.


• Le placement des deux consonnes de début et de fin (choisies parmi parmi les quatre possibles) est un arrangement sans répétition de 2 éléments parmi 4.
  On calcule donc: $\A_{4}^{2}={4!}/{2!}=4×3=12$
  Il y a donc 12 choix possibles pour les consonnes extérieures.
  Une fois ces 2 lettres placées, les 4 autres lettres vont dans les places restantes.
  On dénombre alors le nombre de permutations de 4 éléments.
  On calcule donc: $4!=24$
  Et finalement, on calcule: $12×24=288$
  Le mot MICHEL possède donc $288$ anagrammes commençant et finissant par un consonne.