Corrigé

$A=(\table 1,2)$    $B=(\table 3;4)$    $C=(\table 6,7;8,9)$    $D=(\table a,b;4,-3)$

1. A et B n'ont pas les mêmes dimensions. On ne peut pas les sommer. $A+B$ n'existe pas.

A est de dimension $1×2$ et B est de dimension $2×1$, donc $A×B$ existe et est de dimension $1×1$. On obtient: $A×B=(11)$

B est de dimension $2×1$ et A est de dimension $1×2$, donc $B×A$ existe et est de dimension $2×2$. On obtient: $B×A=(\table 3,6;4,8)$

$A×B$ est de dimension $1×1$ et C est de dimension $2×2$. On ne peut pas les sommer. $A×B+C$ n'existe pas.

$B×A$ est de dimension $2×2$ et C est de dimension $2×2$. donc $B×A+C$ existe et est de dimension $2×2$. On obtient: $B×A+C=(\table 9,13;12,17)$

2. On pose $M=C×D$. On a donc:
$\{\table m_{11}=6×a+7×4;m_{12}=6×b+7×(-3);m_{21}=8×a+9×4;m_{22}=8×b+9×(-3)$      Soit: $\{\table m_{11}=6a+28;m_{12}=6b-21;m_{21}=8a+36;m_{22}=8b-27$
Et donc: $M=(\table 6a+28,6b-21;8a+36,8b-27)$

3. On a: $M=I_2$    $⇔$   $(\table 6a+28,6b-21;8a+36,8b-27)=(\table 1,0;0,1)$
$⇔$ $\{\table 6a+28=1; 6b-21=0;8a+36=0;8b-27=1$  $⇔$    $\{\table a=-4.5; b=3.5;a=-4.5;b=3.5$
Donc $M=I_2$ $⇔$ $a=-4,5$ et $b=3,5$

On a alors: $C×D=I_2$
Or C et D sont carrées de même dimension.
Donc C et D sont inverses l'une de l'autre.

4. On rappelle que: $I_3=(\table 1,0,0;0,1,0;0,0,1)$
a. A l'aide de la calculatrice, on obtient: $G=(\table 0,0,0;0,0,0;0,0,0)=O_3$
En particulier: $g_{1\,2}=1×4+2×(-8)+3×4-12×0=0$
b. On a vu que: $E×F-12I_3=O_3$. Donc: $E×F=12I_3$ . Et donc: $E×({1}/{12}F)=I_3$
Et comme E et F ont même ordre, on en déduit que E est inversible, et que $E^{-1}={1}/{12}F$.
Soit: $E=(\table -{3}/{4},{7}/{12},{1}/{3};{5}/{4},-{5}/{12},-{2}/{3};-{1}/{4},{1}/{12},{1}/{3})$

5. On rappelle que: $I_3=(\table 1,0,0;0,1,0;0,0,1)$      et       $K=(\table 1,2,0;0,-3,0;4,0,5)$
a. On suppose que K est inversible. Posons: $K^{-1}=(\table a,b,c;d,e,f;g,h,i)$
On a donc l'égalité: (E)     $K×K^{-1}=I_3$
Cela signifie que les 9 coefficients de la matrice produit $K×K^{-1}$ sont égaux aux 9 coefficients de la matrice identité $I_3$. On obtient donc un système à 9 lignes et 9 inconnues!
(E)   $⇔$    $\{\table a+2d=1, et ,b+2e=0, et ,c+2f=0;-3d=0, et ,-3e=1, et ,-3f=0;4a+5g=0, et ,4b+5h=0, et ,4c+5i=1$

Soit: (E)   $⇔$    $\{\table a=1-2d, et ,b=-2e, et ,c=-2f;d=0, et ,e=-{1}/{3}, et ,f=0;g=-{4a}/{5}, et ,h=-{4b}/{5}, et ,i={1-4c}/{5}$

Soit: (E)   $⇔$    $\{\table a=1-2×0=1, et ,b=-2×(-{1}/{3})={2}/{3}, et ,c=-2×0=0;d=0, et ,e=-{1}/{3}, et ,f=0;g=-{4a}/{5}, et ,h=-{4b}/{5}, et ,i={1-4c}/{5}$

Soit: (E)   $⇔$    $\{\table a=1, et ,b={2}/{3}, et ,c=0;d=0, et ,e=-{1}/{3}, et ,f=0;g=-{4×1}/{5}=-{4}/{5}, et ,h=-{4×{2}/{3}}/{5}=-{8}/{15}, et ,i={1-4×0}/{5}{1}/{5}$

Et par là: $K^{-1}=(\table 1,{2}/{3},0;0,{1}/{3},0;-{4}/{5},-{8}/{15},{1}/{5})$

b. Posons $L=(\table 1,{2}/{3},0;0,{1}/{3},0;-{4}/{5},-{8}/{15},{1}/{5})$
On a vu que: $K×L=I_3$
Et comme K et L ont même ordre, on en déduit que K est bien inversible, et que $K^{-1}=L$.
Cette matrice est évidemment confirmée par la calculatrice...

6. $N=(\table -4,2;1,6)$
$N$ est une matrice carrée d'ordre $2$.
On calcule: $det(N)=(-4)×6-2×1=-26$
Comme $det(N)≠0$, la matrice $N$ est inversible,
et on obtient: $N^{-1}={1}/{-26}(\table 6,-2;-1,-4)$
Soit: $N^{-1}=(\table -{3}/{13},{1}/{13};{1}/{26},{2}/{13})$