Nombres complexes
A SAVOIR: le cours sur les complexes
Exercice 6
On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n$ positif ou nul par la donnée de $z_0$ où $z_0$ est différent de 0 et de 1, et la relation de récurrence : $z_{n+1}=1-{1}/{z_n}$
1.a. Dans cette question, on suppose que $z_0=2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
1.b. Dans cette question, on suppose que $z_0=i$. Déterminer la forme algébrique des nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$
1.c. Dans cette question, on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné.
Que peut-on conjecturer des valeurs prises par $z_{3n}$ pour tout entier naturel $n$.
Démontrer votre conjecture.
2. Dans cette question, on suppose que $z_0=1+i$. Déterminer $z_{2016}$.
3. Existe-t-il des valeurs de $z_0$ telles que $z_0=z_1$? Que dire de la suite $(z_n)$ dans ce cas?
Solution...
Corrigé
1.a. $z_0=2$.
On a alors: $z_1=1-{1}/{z_0}=1-{1}/{2}={1}/{2}=0,5$, puis: $z_2=1-{1}/{z_1}=1-{1}/{0,5}=-1$.
Et de même, on obtient: $z_3=2$.
On constate que $z_3=z_0$. On a alors immédiatement: $z_4=z_1=0,5$, $z_5=z_2=-1$.
Et on retrouve alors: $z_6=z_0=2$.
1.b. $z_0=i$.
Clique ICI pour revoir le cours sur les formes algébriques.
On a alors: $z_1=1-{1}/{z_0}=1-{1}/{i}=1-{i}/{i^2}=1-{i}/{-1}=1+i$
$z_2=1-{1}/{z_1}=1-{1}/{1+i}=1-{1-i}/{(1+i)(1-i)}=1-{1-i}/{1-i^2}=1-{1-i}/{1-(-1)}=1-{1-i}/{2}=1-{1}/{2}+{i}/{2}=0,5+0,5i$
$z_3=1-{1}/{z_2}=1-{1}/{0,5+,05i}=1-{0,5-0,5i}/{(0,5+0,5i)(0,5-0,5i)}=1-{0,5-0,5i}/{0,5^2-0,5^2i^2}=1-{0,5-0,5i}/{0,25-(-0,25)}=1-{0,5-0,5i}/{0,5}=1-{0,5}/{0,5}+{0,5i}/{0,5}=i$
On constate que $z_3=z_0$. On a alors immédiatement: $z_4=z_1=1+i$, $z_5=z_2=0,5+0,5i$ et $z_6=z_0=i$.
1.c. On revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné.
D'après les questions précédentes, on conjecture que $z_{3n}=z_0$ pour tout entier naturel $n$.
Soit $P_n$ la propriété $z_{3n}=z_0$.
Démontrons par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
On a: $z_{3x0}=z_0$, et par là: $P_{0}$ est vraie.
Hérédité:
Soit $n$ un entier naturel, supposons que $P_n$ soit vraie.
On a donc: $z_{3n}=z_0$.
Comme $z_{n+1}=1-{1}/{z_n}$, on obtient: $z_{3(n+1)}=z_{3n+3}=1-{1}/{z_{3n+2}}=1-{1}/{1-{1}/{z_{3n+1}}}$.
Soit: $z_{3(n+1)}=1-{1}/{{z_{3n+1}-1}/{z_{3n+1}}}=1-{z_{3n+1}}/{z_{3n+1}-1}={z_{3n+1}-1-z_{3n+1}}/{z_{3n+1}-1}={-1}/{z_{3n+1}-1}$
Soit: $z_{3(n+1)}={-1}/{1-{1}/{z_{3n}}-1}={-1}/{-{1}/{z_{3n}}}=z_{3n}$
Et comme $z_{3n}=z_0$, on obtient: $z_{3(n+1)}=z_0$.
Donc $P_{n+1}$ est vraie.
Conclusion: pour tout naturel $n$, $z_{3n}=z_0$.
2. $z_0=1+i$. Or, on sait que: $z_{2016}=z_{3x672}=z_0$. Donc: $z_{2016}=1+i$.
3. $z_0=z_1$$⇔$$z_0=1-{1}/{z_0}$$⇔$${z_0-1+{1}/{z_0}=0$$⇔$${z_0^2-z_0+1}/{z_0}=0$$⇔$$z_0^2-z_0+1=0$
Clique ICI pour revoir le cours sur les équations du second degré à coefficients réels.
$z^2-z+1=0$ est un trinôme à coefficients réels.
Avec les notations usuelles: $a=1$, $b=-1$ et $c=1$.
$Δ=b^2-4ac=1-4=-3$.
$Δ\text"<"0$, donc l'équation a 2 solutions:
les complexes conjugués ${-b-i√{-Δ}}/{2a}={1-i√{3}}/{2}={1}/{2}-{√{3}}/{2}i$ et
${-b+i√{-Δ}}/{2a}=-{1}/{2}+{√{3}}/{2}i$.
Finalement: $z_0=z_1$$⇔$$z_0={1}/{2}-{√{3}}/{2}i$ ou $z_0={1}/{2}+{√{3}}/{2}i$.
Il existe donc 2 valeurs de $z_0$ pour lesquelles $z_0=z_1$.
Dans ce cas, on obtient alors $z_n=z_0$ pour tout entier naturel $n$.
C'est évident, mais on peut le prouver rigoureusement par récurrence si l'on veut.
$z_0=z_0$ assure l'initialisation.
Et si $z_n=z_0$, on obtient: $z_{n+1}=1-{1}/{z_n}=1-{1}/{z_0}=z_1=z_0$, ce qui assure l'hérédité.