Corrigé

1. Clique ICI pour revoir le cours sur les formes algébriques.
$a=(2-3i)^2(1+i)=(2^2-2×2×3i+(3i)^2)(1+i)$
$a=(4-12i-9)(1+i)=4-12i-9+4i-12i^2-9i$
$a=4-12i-9+4i+12-9i$
$a=7-17i$

Nous utilisons le conjugué du dénominateur pour le rendre réel.
$b={(2+i)(1+i)}/{(1-i)(1+i)}={2+2i+i+i^2}/{1^2-i^2}$
$b={2+2i+i-1}/{1+1}={1+3i}/{2}$
$b={1}/{2}+{3}/{2}i$

2. Nous allons utiliser le conjugué ${z}↖{−}=2+3i$.
On écrit: ${1}/{z}={1}/{2-3i}={1×(2+3i)}/{(2-3i)×(2+3i)}={2+3i}/{2^2-9i^2}={2+3i}/{4+9}$
Soit: ${1}/{z}={2}/{13}+{3}/{13}i$.
C'est la forme algébrique de l'inverse de $z$.

3. Ecrivons $z$ sous forme algébrique; on pose $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels.
On a alors: $(x+iy-2)3i=i+5$
Soit: $3xi+3yi^2-6i=i+5$
Soit: $3xi-3y-6i=i+5$
Soit: $-3y+(3x-6)i=5+i$
Par unicité de la forme algébrique, on obtient:
$\{\table -3y=5; 3x-6=1$
Soit: $\{\table y=-{5}/{3}; x={7}/{3}$
Et par là: $z={7}/{3}-{5}/{3}i$

4. Clique ICI pour revoir le cours sur les formes algébriques.
$(√{3}+2)(-1-(2-√{3})i)=-(√{3}+2)-(√{3}+2)(2-√{3})i=-√{3}-2-(4-3)i=-√{3}-2-i$.