Maths Complémentaires en Terminale

L'essentiel pour réussir

Statistique à deux variables quantitatives

A SAVOIR: le cours sur Statistique à deux variables quantitatives

Exercice 2

Un chercheur veut modéliser la courbe de croissance d'une souris dont il a modifié l'un des gènes.
Ses mesures sont résumées dans le tableau ci-dessous.
fig6
Pour $i$ allant de 1 à 10, $x_i$ donne le rang du jour, et $y_i$ est la masse (en grammes) de la souris pour le jour de rang $x_i$.
Le nuage de points correspondant à la série des $(x_i;y_i)$ pour $i$ allant de 1 à 10 est le suivant.
fig9

  1. La forme du nuage suggère-t-elle qu'un ajustement est possible?
    Pour quelle raison?

  2. Le chercheur pose: $z_i=e^{{y_{i}}/{8}}$ pour $i$ allant de 1 à 10.
    Il décide d'étudier la série des $(x_i;z_i)$.
    Compléter le tableau suivant.
    fig7
  3. Représenter le nuage de points de la série des $(x_i;z_i)$.
  4. Déterminer à l'aide de votre calculatrice une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ (les coefficients seront arrondis à 0,01 près).
  5. Déterminer à l'aide de votre calculatrice le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série double (arrondi à 0,001 près).
    L'ajustement est-il satisfaisant. Pourquoi?
  6. Le chercheur en déduit alors une formule permettant d'estimer la masse $y$ de la souris en fonction du rang $x$ du jour.
    Déterminer cette formule.
  7. Estimer par un calcul la masse $y$ de la souris (arrondi à 0,1 gramme près) pour le jour de rang 35.
Solution...
Corrigé
  1. La forme du nuage laisse penser qu'un ajustement n'est pas possible.
    Par contre, un ajustement par une "courbe" semble opportun.

  2. On pose: $z_i=e^{{y_{i}}/{8}}$ pour $i$ allant de 1 à 10.
    Ainsi, $z_1=e^{{1}/{8}}≈1,1$ et $z_{10}=e^{{19,6}/{8}}≈11,6$.
    D'où le tableau complété.
    fig8

  3. Voici le nuage de points de la série des $(x_i;z_i)$.
    fig10

  4. A l'aide de la calculatrice, on trouve que la droite de régression de $z$ en $x$ a pour équation: $z=ax+b$, avec $a≈0,39$ et $b≈0,67$.
    Elle est tracée en vert ci-dessus (non demandé).

  5. A l'aide de la calculatrice, on trouve que le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série double vérifie: $r≈0,997$.
    C'est quasi parfait! On a largement $|r|>0,9$. L'ajustement est donc très satisfaisant.

  6. On a alors: $z=0,39x+0,67$ et $z=e^{{y}/{8}}$
    Donc: $e^{{y}/{8}}=0,39x+0,67$
    Et donc: ${y}/{8}=\ln (0,39x+0,67)$
    Et par là: $y=8\ln(0,39x+0,67)$
    La courbe associée est représentée en vert ci-dessous (non demandé).
    fig11

  7. Le jour de rang 35 donne $x=35$.
    On calcule: $8\ln(0,39×35+0,67)≈21,3$
    On peut espérer que la souris aura une masse d'environ 21,3 grammes pour le mois de rang 35.
    Evidemment, cela suppose que le modèle reste valide à ce moment là, ce qui est loin d'être évident (la masse de la souris va sans doute se stabiliser, alors que la fonction d'ajustement ne fait que croître!)
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