Fonction logarithme népérien
A SAVOIR: le cours sur la fonction ln
Exercice 7
Le développement du commerce tout au long de l'Histoire s'appuye sur la construction des mathématiques financières. La Renaissance est liée à un accroissement considérable des échanges monétaires. Cela impose aux marchands et banquiers l'obligation de maîtriser les calculs d'intérêts.C’est le moment où s’effectuent le calcul de nombreuses tables d’intérêts dont celles de Simon Stevin (XVI ème siècle). Ce dernier a eu la riche idée de proposer simultanément un nouveau système d'écriture des nombres pour aider les profanes en mathématiques à utiliser ses tables. En effet, à cette époque, même si les fractions décimales sont connues depuis longtemps par les érudits arabes, l'écriture décimale n'existe pas encore, et les mathématiciens ne manipulent quasiment que des fractions (des « rompus» ). Stevin proposa un système d'écriture assez proche du système décimal actuel, qui fut adopté très rapidement par ses contemporains.
Deux définitions avant de commencer.
La valeur acquise d’un capital $C$ placé pendant $n$ années au taux annuel de $t$ (à intérêts composés) est $V=C(1+t)^{n}$.
Exemple: la valeur acquise au bout de 6 ans pour un capital de $1\,000$ € placé au taux annuel de $5 %$ est
$V=1\,000(1+0,05)^{6}≈1\,640,10$ euros.
Cela signifie que, au bout de 6 ans, on peut retirer $1\,640,10$ euros.
La valeur actuelle d’un capital $C$ placé pendant $n$ années au taux annuel d'actualisation de $t$ est $V=C(1+t)^{-n}$.
Exemple: la valeur actuelle au taux d’actualisation de $5 %$ pour un capital de $1\,000$ € payable dans 6 ans est
$V=1\,000(1+0,05)^{-6}≈746,22$ euros.
Cela signifie que, pour disposer de $1\,000$ € après 6 années de placement au taux de $5 %$, il faut placer $746,22$ euros.
Dressons, à l'aide d'un tableur, une table d'intérêts sur 2 lignes donnant les informations suivantes.
Première ligne: $n$ est le rang de l'année.
Seconde ligne: $v_n=$ est la valeur actuelle d’un capital égal à 1 placé pendant $n$ années au taux annuel d'actualisation de $2\%$.
Les valeurs sont arrndies à 0,001 près.
- De quelle nature est la suite $(n)$?
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
De quelle nature est la suite $(v_n)$?
En déduire l'expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. - Proposer 2 formules différentes à entrer dans la cellule C2 et à étendre vers la droite pour obtenir la ligne 2.
- Utiliser la table ci-dessus pour estimer la valeur actuelle au taux d’actualisation de $2 %$ d'un capital de $2\,500$ € payable dans 6 ans.
- Utiliser la table ci-dessus pour vérifier que: ${v_2×v_5}/{v_3}≈v_{2+5-3}$
Soient $a$, $b$ et $c$ 3 entiers naturels non nuls tels que $a+b$>$c$.
Montrer en utilisant la formule explicite de $(v_n)$ que ${v_a×v_b}/{v_c}=v_{a+b-c}$
Nous constatons alors que la table d'intérêts permet de déterminer des produits ou des quotients en les remplaçant par des additions ou des soustractions sur des entiers naturels grâce au lien entre la suite arithmétique $(n)$ et la suite géométrique $(v_n)$. Cette idée inspira sans doute Neper.
- Déterminer sans calculatrice et en utilisant la table d'intérêts proposée que ${0,961×0,888}/{0,906}≈0,942$
- Déterminer sans calculatrice et en utilisant la table d'intérêts proposée une valeur approchée de $P=92,4×8,37$
- Déterminer sans calculatrice et en utilisant la table d'intérêts proposée un encadrement de $p=0,948×0,935$
Corrigé
- La suite $(n)$ est arithmétique de raison 1.
$v_n=$ est la valeur actuelle d’un capital égal à 1 placé pendant $n$ années au taux annuel d'actualisation de $2\%$.
Donc, pour tout naturel $n$, on a: $v_n=1×(1+0,02)^{-n}$.
Soit: $v_n=1,02^{-n}$.
Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $1,02^{-1}$ et de premier terme $v_0=1$.
Donc, pour tout naturel $n$, on a: $v_{n+1}=1,02^{-1}v_n$. - Deux formules à entrer dans la cellule C2 et à étendre vers la droite pour obtenir la ligne 2 sont, par exemple:
=\$B2*1,02^(-C1) (cela utilise $v_n=1,02^{-n}$).
=B2*1,02^(-1) (cela utilise $v_{n+1}=1,02^{-1}v_n$)
Le \$ de la première formule fixe le B qui reste inchangé lors de la recopie. Cette formule évite de propager les erreurs d'arrondis. - On calcule: $2\,500×1,02^{-6}=2\,500×v_6≈2\,500×0,888≈2220$
La valeur actuelle au taux d’actualisation de $2 %$ pour un capital de $2\,500$ € payable dans 6 ans est d'environ $2\,220$ €.
On a: ${v_2×v_5}/{v_3}≈{0,961×0,906}/{0,942}≈ 0,924≈v_4$
Or: $v_{2+5-3}=v_4$
Donc: ${v_2×v_5}/{v_3}≈v_4$
Soient $a$, $b$ et $c$ 3 entiers naturels non nuls tels que $a+b$>$c$.
${v_a×v_b}/{v_c}={1,02^{-a}×1,02^{-b}}/{1,02^{-c}}=1,02^{-a-b+c}=v_{a+b-c}$ c.q.f.d.- On a: ${0,961×0,888}/{0,906}≈{v_2×v_6}/{v_5}$
Or: ${v_2×v_6}/{v_5}=v_{2+6-5}=v_3$ et $v_3≈0,942$
Donc: ${0,961×0,888}/{0,906}≈0,942$ c.q.f.d. - On a: $P=92,4×8,37=0,924×0,837×10^{3}$. Donc: $P≈v_4×v_9×10^{3}$
Or: $v_4×v_9=v_{4+9}=v_{13}$ et $v_{13}≈0,773$
Donc: $P≈0,773×10^3≈773$
Notons que $P=773,388$ (à la calculatrice). La valeur approchée est très convenable. - On va encadrer les facteurs du produit $p$ par des valeurs situées dans la table d'intérêts.
On a: $0,961>0,948>0,942$ et $0,942>0,935>0,924$
Donc: $0,961×0,942>0,948×0,935>0,942×0,924$
Soit: $0,961×0,942>p>0,942×0,924$
Or: $0,961×0,942≈v_2×v_3=v_5≈0,906$ et $0,942×0,924≈v_3×v_4=v_7≈0,871$
Donc, aux approximations près, on a: $0,906>p>0,871$
Notons que $p=0,88638$ (à la calculatrice). L'encadrement est correct, mais imprécis.
Nous constatons que la table d'intérêts permet d'effectuer très rapidement des produits ou des quotients. La précision du résultat est liée à la précision de la table.
Le problème est que le calcul n’est correct que pour les nombres qui sont dans la table (à une puissance de 10 près). Pour les autres, nous pourrons obtenir au mieux un encadrement du résultat, malheureusement souvent très large.
Les tables de Neper associées à l'utilisation des décimaux fourniront un procédé permettant des encadrements précis à volonté.