Maths Complémentaires en Terminale

L'essentiel pour réussir

Intégrales

A SAVOIR: le cours sur les intégrales

Exercice 8

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)={1}/{x}-1$
et soit $C $ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal du plan.
Une portion de la courbe $C $ est représentée en vert ci-dessous.
intégrale et aire
L'aire du domaine hachuré en rouge est égale à l'aire du domaine hachuré en noir.
Que vaut $a$?
Vous en déterminerez la valeur exacte, puis une valeur approchée arrondie au millième.

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, serait prise en compte pour la notation.

Solution...
Corrigé

Soit $x_1$ et $x_a$ les antécédents respectifs de 1 et de $a$ par la fonction $f$.
Ces réels sont marqués sur le dessin ci-dessous.

intégrale et aire

Appelons $A_t$ l'aire du domaine constitué de la réunion du domaine hachuré en rouge et du domaine hachuré en noir.
Appelons $A_n$ l'aire du domaine hachuré en noir.
Nous avons donc l'égalité: $A_t=2 A_n$.
Cette égalité va nous fournir une équation dont $a$ est solution.

Mais calculons tout d'abord chacune des 2 aires.
Tu peux cliquer ICI pour revoir une propriété liant aires et intégrales.
Les aires considérées étant celles de domaines situés entre des courbes de fonctions continues positives et l'axe des abscisses, on obtient :
$$A_t=∫_{0}^{x_1} 1dx+∫_{x_1}^{1} f(x)dx$$.
Or, une primitive de $1$ est $x$, et une primitive de $f(x)$ est $\ln x-x$.
Donc: $$A_t=\[x\]_0^{x_1}+\[\ln x\-x]_{x_1}^{1}$$.
Soit: $$A_t=x_1-0+(\ln 1-1)-(\ln{x_1}-x_1)$$.
Soit: $$A_t=x_1-1-\ln{x_1}+x_1$$.
Il est donc nécessaire de déterminer la valeur de $x_1$.
On a: $f(x_1)=1$. Et par là: ${1}/{x_1}-1=1$. Et donc: ${1}/{x_1}=2$. D'où: $x_1=0,5$.
Par conséquent: $$A_t=0,5-1-\ln{0,5}+0,5=-\ln{0,5}=-\ln{1}/{2}$$.
Soit: $A_t=\ln 2$.

En procédant de façon similaire, on obtient:
$$A_n=∫_{0}^{x_a} a dx+∫_{x_a}^{1} f(x)dx$$.
Soit: $$A_n=ax_a-1-\ln{x_a}+x_a$$.
Il est donc nécessaire de déterminer la valeur de $x_a$.
On a: $f(x_a)=a$. Et par là: ${1}/{x_a}-1=a$. Et donc: ${1}/{x_a}=a+1$. D'où: $x_a={1}/{a+1}$.
Par conséquent: $$A_n=a{1}/{a+1}-1-\ln{{1}/{a+1}}+{1}/{a+1}={a-a-1+1}/{a+1}-\ln{{1}/{a+1}}=-\ln{{1}/{a+1}}$$.
Soit: $A_n=\ln (a+1)$.

Tu peux cliquer ICI pour revoir le cours sur la fonction ln.
On résout donc: $\ln 2=2\ln (a+1)$.
On obtient immédiatement: $\ln (a+1)={1}/{2}\ln 2$
Soit: $\ln (a+1)=\ln √{2}$
Et par là: $a=√{2}-1≈0,414$.

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