Lois à densité
A SAVOIR: le cours sur la densité
Exercice 4
On donnera les valeurs exactes des probabilités, puis leurs valeurs approchées arrondies à 0,001 près.
La durée de vie X (en années) d'un composant électronique fabriqué dans l'usine SansGong
suit une loi de densité $f$ définie par $f(x)={6}/{27}x(3-x)$ sur $[0;3]$.
On achète un composant.
1. Quelle est la probabilité $p_1$ qu'il soit hors d'usage avant un an.
2. Quelle est la probabilité $p_2$ qu'il casse pendant la deuxième année.
3. Représenter rapidement $f$, et interpréter graphiquement $p_2$.
4. Quelle est l'espérance $m$ de X? Interprétez concrètement la valeur de $m$.
Corrigé
1.
La probabilité cherché est: $$p_1=p(0≤X≤1)=∫_0^1 f(x)dx$$.
Soit: $$p_1=∫_0^{1} {6}/{27}x(3-x)dx={6}/{27}∫_0^{1} (3x-x^2)dx={6}/{27}[3{x^2}/{2}-{x^3}/{3}]_0^{1}$$
Soit: $$p_1={6}/{27}((3{1^2}/{2}-{1^3}/{3})-(3{0^2}/{2}-{0^3}/{3}))$$.
Soit: $$p_1={6}/{27}(({3}/{2}-{1}/{3})-0)={6}/{27}({9}/{6}-{2}/{6})={6}/{27}×{7}/{6}={7}/{27}≈0,259$$.
2.
La probabilité cherché est: $$p_2=p(1≤X≤2)=∫_1^2 f(x)dx$$.
Comme précédemment, on obtient: $$p_2={6}/{27}[3{x^2}/{2}-{x^3}/{3}]_1^{2}$$
Soit: $$p_2={6}/{27}((3{2^2}/{2}-{2^3}/{3})-(3{1^2}/{2}-{1^3}/{3}))$$.
Soit: $$p_2={6}/{27}(({12}/{2}-{8}/{3})-({9}/{6}-{2}/{6}))={6}/{27}×{36-16-7}/{6}={13}/{27}≈0,481$$.
3. La fonction $f$ est un trinôme. Son coefficient dominant, $-{6}/{27}$, est négatif; ses racines sont 0 et 3; son sommet a pour coordonnées (1,5;0,5).
La densité $f$ est représentée ci-dessous.
L'aire de la partie hachurée (en unités d'aires) est égale à $p_2$.
4. $$m=∫_0^3 xf(x)dx=∫_0^{3} x{6}/{27}x(3-x)dx={6}/{27}∫_0^{3} (3x^2-x^3)dx$$
Soit: $$m={6}/{27}[3{x^3}/{3}-{x^4}/{4}]_0^3={6}/{27}((3{3^3}/{3}-{3^4}/{4})-(3{0^3}/{3}-{0^4}/{4}))$$
Soit: $$m={6}/{27}(27-{81}/{4}-0)=1,5$$
Sur un très grand nombre de composants, la durée de vie moyenne de chacun d'eux tend certainement vers un an et demi.