Lois discrètes
A SAVOIR: le cours sur les Lois discrètes
Exercice 6
Innocent joue plusieurs parties d'une machine à sous. Il mise 10 euros à chaque fois. Et à chaque fois, la probabilité qu'il gagne vaut $0,01$. Cela lui rapporte alors 500 euros, c'est à dire un gain net de 490 euros.
Innocent décide de jouer jusqu'à ce qu'il gagne...
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de parties qu'il va jouer.
Soit G la variable aléatoire donnant le gain algébrique d'Innocent.
- Donner la nature de X, sa loi, et son espérance. Interpréter ce dernier résultat.
- Soit $n$ un entier naturel non nul. Déterminer $p(G=500-10n)$ en fonction de $n$.
- Combien de parties au maximum Innocent doit-il jouer pour ne pas perdre d'argent?
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On admet la propriété de linéarité de l'espérance. C'est à dire que, si X et Y sont deux variables aléatoires, et si $k$ est un nombre réel, alors $E(kX+Y)=kE(X)+E(Y)$.
Déterminer l'espérance de G. Interpréter ce dernier résultat - Montrer que, si X suit une loi géométrique de paramètre $p$, alors, pour tout $x$ entier naturel non nul, on a: $p(X≤x)=1-q^{x}$
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Innocent a déjà fait 40 parties. Quelle est la probabilité qu'il ne perde pas d'argent?
Solution...
Corrigé
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X donne le rang de la première partie gagnée par Innocent.
X suit la loi géométrique de paramètre $p=0,01$.
Pour tout naturel non nul $k$, on a: $p(X=k)=0,01×0,99^{k-1}$
On a également: $E(X)={1}/{p}$, soit: $E(X)=100$
En moyenne, Innocent va jouer 100 parties. - Il mise 10 euros à chaque fois. S'il gagne, il reçoit 500 euros.
Donc, s'il joue $n$ fois pour gagner à la $n$ ième partie, alors son gain algébrique sera égal à: $n×(-10)+1×500$, c'est à dire: $500-10n$.
Par conséquent, $p(G=500-10n)=p(X=n)$, soit: $p(G=500-10n)=0,01×0,99^{n-1}$. - Innocent ne perdra pas d'argent si son gain algébrique est positif ou nul, c'est à dire lorsque:
$500-10n≥0$
Soit: $500≥10n$
Soit: $50≥n$.
Pour ne pas perdre d'argent, Innocent ne doit pas jouer plus de 50 parties.
S'il joue plus de 50 parties, il perdra forcément de l'argent. Mais s'il gagne assez vite, il peut limiter ses pertes... - Il est désormais clair que: $G=500-10X$
Par linéarité de l'espérance, on obtient: $E(G)=E(500)-10E(X)=500-10×100=$$-500$.
En moyenne, Innocent va perdre 500 euros.
- On pose $q=1-p$
On a: $p(X≤x)=p(X=1)+p(X=2)+...+p(X=x)$
Soit: $p(X≤x)=p+p×q^{1}+...+p×q^{x-1}$
Soit: $p(X≤x)=p×(1+q+q^2+...+q^{x-1})$
Soit: $p(X≤x)=p×{1-q^{x}}/{1-q}=p×{1-q^{x}}/{p}$
Soit: $p(X≤x)=1-q^{x}$
Et c'est vrai pour tout $x$ entier naturel non nul. - On cherche $p_(X\>40)(X≤50)=1-p_(X\>40)(X\>50)$
Or: $p_(X\>40)(X\>50)=p_(X\>40)(X\>40+10)=p(X\>10)$ (propriété d'absence de mémoire)
Donc finalement: $p_(X\>40)(X≤50)=1-p(X\>10)=p(X≤10)$
D'après la question précédente, on obtient alors:
Soit: $p_(X\>40)(X≤50)=1-0,99^{10}$
Soit: $p_(X\>40)(X≤50)≈0,096$
Innocent est mal parti...