Statistiques
Exercice 3
Une entreprise veut acheter un lot de composants variés.
Le gestionnaire répertorie le prix de chacun de ces composants et le nombre de composants achetés chez son fournisseur habituel.
Il obtient le tableau suivant:
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les calculs seront détaillés, et les résultats seront arrondis
si besoin à 0,01 près.
1.a. Quel est le prix moyen $\ov x_1$ d'un composant.
1.b. Déterminer à la calculatrice l'écart-type $σ_x_1$ de la série proposée.
2.a. Le gestionnaire obtient une remise de 1 euro sur chaque composant.
Déterminer sans la calculatrice la moyenne $\ov x_2$ de la nouvelle série de prix.
2.b. Déterminer à la calculatrice l'écart-type $σ_x_2$ de la nouvelle série de prix.
Quel rapport y a-t-il entre $σ_x_1$ et $σ_x_2$?
3.a. Après des négociations difficiles, le gestionnaire obtient de plus une baisse de 10% sur le prix de chaque composant de cette seconde série.
Déterminer sans la calculatrice la moyenne $\ov x_3$ de cette troisième série de prix.
3.b. Déterminer à la calculatrice l'écart-type $σ_x_3$ de cette troisième série de prix.
Peut-on affirmer que $σ_x_3=0,9×σ_x_2$?
Solution...
Corrigé
1.a. On a: $\ov x_1={20×8,50+20×10+20×12,50+14×17+22×19,10+7×20+5×21}/{108}≈14,10$ euros.
Le prix moyen $\ov x_1$ d'un composant est d'environ 14,10 euros
1.b. A la calculatrice, on obtient: $σ_x_1≈4,48$ euros.
2.a. Après remise de 1 euro, la série des prix devient:
A retenir: La moyenne est linéaire.
Cela signifie que:
si toutes les valeurs $x_i$ d'une deviennent $a×x_i+b$, alors la moyenne $\ov x$ devient $a×\ov x+b$
Par conséquent, la moyenne $\ov x_2$ de la nouvelle série de prix est telle que: $\ov x_2=\ov x_1+(-1)=\ov x_1-1$.
On obtient donc: $\ov x_2≈13,10$ euros.
2.b. A la calculatrice, on obtient: $σ_x_2≈4,48$ euros.
On constate que $σ_x_1≈σ_x_2$.
Attention! On ne peut pas conclure que $σ_x_1=σ_x_2$ car les valeurs proposées sont approximatives.
Cependant, on peut démontrer qu'effectivement, on a: $σ_x_1=σ_x_2$.
En fait, si toutes les valeurs $x_i$ d'une deviennent $x_i+b$, alors l'écart-type reste inchangé (mais ce résultat est hors programme).
3.a. Après remise de 10% , la série des prix devient:
Chaque valeur a été multipliée par le coefficient multiplicateur $0,90$
A retenir: La moyenne est linéaire.
Cela signifie que:
si toutes les valeurs $x_i$ d'une deviennent $a×x_i+b$, alors la moyenne $\ov x$ devient $a×\ov x+b$
Par conséquent, la moyenne $\ov x_3$ de la nouvelle série de prix est telle que: $\ov x_3=0,90×\ov x_2$.
On obtient donc: $\ov x_3≈11,79$ euros.
3.b. A la calculatrice, on obtient: $σ_x_3≈4,03$ euros.
Or, si on calcule $0,9×σ_x_2$, on obtient également environ $4,03$.
On constate que $σ_x_3≈0,9×σ_x_2$.
Attention! On ne peut pas conclure que $σ_x_3=0,9×σ_x_2$ car les valeurs proposées sont approximatives.
Cependant, on peut démontrer qu'effectivement, on a: $σ_x_3=0,9×σ_x_2$.
En fait, si toutes les valeurs $x_i$ d'une deviennent $a×x_i$, alors l'écart-type est multiplié par $|a|$ (mais ce résultat est hors programme).