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Probabilités

Exercice 2

Soient A et B deux évènements.
On sait que: $p(A)=0,6$, $p(B)=0,5$, $p(A∪B)=0,7$.
1. Déterminer $p(A∩B)$, $p(\ov A)$ et $p(\ov B)$.
2. Déterminer $p(A∩\ov B)$, $p(\ov A∩B)$ et $p(\ov A∩\ov B)$.
3. Déterminer $p(\ov A∪\ov B)$.
4. L'un des évènements cités ci-dessus est le contraire de l'évènement $A∪B$. Lequel est-ce?

Solution...
Corrigé

1. On sait que: $p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(A∩B)$.
Donc, en transposant, on obtient: $p(A∩B)=p(A)+p(B)-p(A∪B)$.
Soit: $p(A∩B)=0,6+0,5-0,7=0,4$.

On a: $p(A)+p(\ov A)=1$, et par là: $p(\ov A)=1-p(A)=1-0,6=0,4$.

On a: $p(B)+p(\ov B)=1$, et par là: $p(\ov B)=1-p(B)=1-0,5=0,5$.

2. Comme $A=(A∩B)∪(A∩\ov B)$, et que les évènements $A∩B$ et $A∩\ov B$ sont incompatibles, on en déduit que: $p(A)=p(A∩B)+p(A∩\ov B)$.
Soit: $0,6=0,4+p(A∩\ov B)$.
Et par là: $p(A∩\ov B)=0,2$.
A retenir: si $B$ et $\ov B$ sont 2 évènements contraires, alors $p(A)=p(A∩B)+p(A∩\ov B)$.

De même, on a: $p(B)=p(B∩A)+p(B∩\ov A)$.
Soit: $0,5=0,4+p(B∩\ov A)$.
Et par là: $p(B∩\ov A)=0,1$.

De même, on a: $p(\ov A)=p(\ov A∩B)+p(\ov A∩\ov B)$.
Soit: $0,4=0,1+p(\ov A∩\ov B)$.
Et par là: $p(\ov A∩\ov B)=0,3$.

3. On a: $p(\ov A∪\ov B)=p(\ov A)+p(\ov B)-p(\ov A∩\ov B)$.
Soit: $p(\ov A∪\ov B)=0,4+0,5-0,3=0,6$.

4. On sait que: $p(A∪B)+p(\ov{A∪B})=1$.
Et donc: $p(\ov{A∪B})=1-p(A∪B)=1-0,7=0,3$.
Or, l'un des évènements cités ci-dessus est le contraire de l'évènement $A∪B$.
Le seul dont la probabilité correspond est $\ov A∩\ov B$.
Donc $\ov{A∪B}= \ov A∩\ov B$.

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