Corrigé

On suppose qu'ils se retrouvent ensemble après qu'Anatole ait fait x tours, Barnabé y tours et Childéric z tours ($x$, $y$ et $z$ sont des entiers les plus petits possibles et non nuls).
On a donc: $28×x=30×y=35×z$
Soit: $2×2×7×x=2×3×5×y=5×7×z$
Or la décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers est unique.
Donc il existe un entier $x'$ tel que $x=3×5×x'$ (pour que le 3 et le 5 du second membre apparaissent dans le premier membre).
De même, il existe un entier $y'$ tel que $y=2×7×y'$.
De même, il existe un entier $z'$ tel que $z=2×2×3×z'$.
On obtient alors: $2×2×7×3×5×x'=2×3×5×2×7×y'=5×7×2×2×3×z'$
D'où: $x'=y'=z'$.
Or $x$, $y$ et $z$ sont des entiers les plus petits possibles et non nuls.
Par conséquent, $x'$, $y'$ et $z'$ sont aussi des entiers les plus petits possibles et non nuls.
Et donc: $x'=y'=z'=1$.
Et par là, on obtient: $x=15$, $y=14$ et $z=12$.
On a alors: $28×15=30×14=35×12=420$
Les trois amis se retrouvent au bout de 420 minutes (7 heures).

Autre méthode (hors programme)
On pouvait aussi chercher directement le plus petit commun multiple non nul $m$ de 28, 30 et 35.
On a: $28=2×2×7$, $30=2×3×5$ et $35=5×7$
Le PPCM s'obtient alors en effectuant le produit de tous les facteurs avec leurs exposants les plus grands (méthode hors programme).
Donc $m=2^2×3×5×7=420$
Les trois amis se retrouvent donc au bout de 420 minutes (7 heures).