Nombres et calculs
Exercice 5
Tous les calculs qui suivent seront faits sans calculatrice!
1.a. Simplifier les écritures suivantes:
$a=√{7}×√{28}$ $b={√{99}/{√{11}}$
$c=(√{7})^2$ $d=√{16}+√{64}$
1.b. Simplifier les écritures suivantes:
$a=π^2×π^3$ $b=5^2+5^3$
$c=(π^3)^2$ $d=({5}/{3})^2$
$e=3×10^{2}×7×10^{4}$ $f=3×10^{2}+7×10^{4}$
1.c. Simplifier les écritures suivantes:
$a={1}/{3}+{2}/{5}$ $b={1}/{3}×{2}/{5}$
$c={3^2×5×11^6×13^2}/{3^3×11^4×169}$ $d=3+{2}/{7}$
2.a. Sauf indication contraire, $x$ est un réel quelconque.
Simplifier les écritures suivantes:
$a=√{x^2}$
$b=(√{x})^2$ (pour $x$ réel positif)
$c=(x-3)^2-x^2-9$
$d=(2x+1)^2-4x-1$
2.b. Développer et réduire:
$a=(-x+4)^2-x^2$ $b=8-(x-5)^2$
$c=(3-4x)(4x+3)$ $d=2(x-1)(x+4)-2x^2$
2.c. Factoriser:
$a=3x^2-2x$ $b=x^2+2x$
$c=x^2-x$ $d=x(x+1)-(2x+7)(x+1)$
$e=3(x+2)+(x+2)(x+1)$ $f=x^2+2x+1$
$g=9x^2-121$ $h=-16+8x-x^2$
2.d. Montrer que $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$, puis factoriser $s=5x^2+10x-15$
3.a. Comparer $√{21}×√{63}$ à $21√{3}$
3.b. Comparer $√{8,5}+√{1,5}$ à $√{10}$
3.c. Comparer $6,9+4√{3}$ à $(2+√{3})^2$
Solution...
Corrigé
1.a.
$a=√{7}×√{28}=√{7×28}=√{7×7×4}=√{49×4}=√{49}×√{4}=7×2=14$
$b={√{99}/{√{11}}={√{9×11}/{√{11}}=√{{9×11}/{11}}=√{9}=3$
$c=(√{7})^2=7$
$d=√{16}+√{64}=4+8=12$
1.b.
$a=π^2×π^3=π^{2+3}=π^5$
$b=5^2+5^3=25+125=150$
$c=(π^3)^2=π^{3×2}=π^6$
$d=({5}/{3})^2={5^2}/{3^2}={25}/{9}$
$e=3×10^{2}×7×10^{4}=3×7×10^{2+4}=21×10^6=21\,000\,000$
$f=3×10^{2}+7×10^{4}=300+70\,000=70\,300$
1.c.
$a={1}/{3}+{2}/{5}={1×5}/{3×5}+{2×3}/{5×3}={5}/{15}+{6}/{15}={5+6}/{15}={11}/{15}$
$b={1}/{3}×{2}/{5}={1×2}/{3×5}={2}/{15}$
$c={3^2×5×11^6×13^2}/{3^3×11^4×13^2}=3^{2-3}×5×11^{6-4}×13^{2-2}={3^{-1}×5×11^{2}×13^0={5×121×1}/{3}={605}/{3}$
$d=3+{2}/{7}={3}/{1}+{2}/{7}={3×7}/{1×7}+{2}/{7}={21}/{7}+{2}/{7}={21+2}/{7}={23}/{7}$
2.a.
$a=√{x^2}=|x|$
$b=(√{x})^2=x$ ( $x$ est un réel nécessairement positif, sinon sa racine carrée n'existerait pas! )
$c=(x-3)^2-x^2-9=x^2-2×x×3+3^2-x^2-9=x^2-6x+9-x^2-9=-6x$
$d=(2x+1)^2-4x-1=(2x)^2+2×2x×1+1^2-4x-1=2^2×x^2+4x+1-4x-1=4x^2$
2.b.
$a=(-x+4)^2-x^2=(-x)^2+2×(-x)×4+4^2-x^2=x^2-8x+16-x^2=-8x+16$
$b=8-(x-5)^2=8-(x^2-2×x×5+5^2)=8-(x^2-10x+25)$
Soit: $b=8-x^2+10x-25=-x^2+10x-17$
$c=(3-4x)(4x+3)=3×4x+3×3-4x×4x-4x×3=12x+9-16x^2-12x=-16x^2+9$
Autre méthode: $c=(3-4x)(4x+3)=(3-4x)(3+4x)=3^2-(4x)^2=9-16x^2$
$d=2(x-1)(x+4)-2x^2=(2x-2)(x+4)-2x^2$
Soit: $d=2x×x+2x×4-2×x-2×4-2x^2=2x^2+8x-2x-8-2x^2$
Soit: $d=6x-8$
2.c. Méthode pour factoriser (en seconde).
Chercher un facteur commun. S'il n'y en n'a pas, utliser une identité remarquable. Si rien ne fonctionne, c'est que la factorisation a été donnée auparavant!
$a=3x^2-2x=x(3x-2)$ Le facteur commun est $x$
$b=x^2+2x=x(x+2)$ Le facteur commun est $x$
$c=x^2-x=x(x-1)$ Le facteur commun est $x$
$d=x(x+1)-(2x+7)(x+1)=(x+1)(x-(2x+7))=(x+1)(x-2x-7)=(x+1)(-x-7)$ Le facteur commun est $x+1$
$e=3(x+2)+(x+2)(x+1)=(x+2)(3+(x+1))=(x+2)(3+x+1)=(x+2)(4+x)$ Le facteur commun est $x+2$
$f=x^2+2x+1=x^2+2×x×1+1^2=(x+1)^2$ Il n'y a pas de facteur commun. On a utilisé une identité remarquable
$g=9x^2-121=(3x)^2-11^2=(3x-11)(3x+11)$ Il n'y a pas de facteur commun. On a utilisé une identité remarquable
$h=-16+8x-x^2=-(16-8x+x^2)=-(4^2-2×4×x+x^2)=-(4-x)^2$ Il n'y a pas de facteur commun. On a utilisé une identité remarquable
2.d. Méthode pour factoriser (en seconde).
Chercher un facteur commun. S'il n'y en n'a pas, utliser une identité remarquable. Si rien ne fonctionne, c'est que la factorisation a été donnée auparavant!
On a: $(x-1)(x+3)=x^2+3x-x-3=x^2+2x-3$ ce qu'il fallait démontrer.
On obtient : $s=5x^2+10x-15=5(x^2+2x-3)$ Le facteur commun est $5$.
Pour $x^2+2x-3$, il n'y a pas de facteur commun. Et on ne peut pas utiliser d'identité remarquable. Mais la factorisation a été donnée auparavant!
On obtient : $s=5(x-1)(x+3)$
3.a. $√{21}×√{63}=√{21×63}=√{3×7×9×7}=√{3}×√{49}×√{9}=√{3}×7×3=21√{3}$
Donc: $√{21}×√{63}=21√{3}$
3.b. On sait que, pour tous nombres $a$ et $b$ strictement positifs, on a: $√{a+b}$<$√{a}+√{b}$
Comme $8,5$ et $1,5$ sont stritement positifs, on obtient: $√{8,5+1,5}$<$√{8,5}+√{1,5}$
Soit: $√{10}$<$√{8,5}+√{1,5}$
3.c. On développe: $(2+√{3})^2=2^2+2×2×√{3}+(√{3})^2=4+4√{3}+3=7+4√{3}$
Par conséquent: $(2+√{3})^2$>$6,9+4√{3}$