Corrigé

1. A retenir: le minimum d'une fonction, s'il existe, est la plus petite de ses images.
Pour montrer que la fonction $m$ admet 3 comme minimum, et que ce minimum est atteint pour $x=1$,
il suffit de montrer que:
pour tout nombre réel $x$, $m(x)≥m(1)$.

On commence par calculer: $m(1)=(1-1)^2+3=0^2+3=0+3=3$.
Il suffit donc de montrer que: pour tout nombre réel $x$, $m(x)≥3$.
Or on a: $(x-1)^2≥0$ (car le membre de gauche est un carré).
Et donc: $(x-1)^2+3≥0+3$.
Et par là: pour tout nombre réel $x$, $m(x)≥3$.
Donc, finalement, $m$ admet 3 comme minimum, et ce minimum est atteint pour $x=1$.
A retenir: un carré est toujours positif ou nul.

2. A retenir: le maximum d'une fonction, s'il existe, est la plus grande de ses images.
Pour montrer que la fonction $p$ admet 5 comme maximum, et que ce maximum est atteint pour $x=3$,
il suffit de montrer que:
pour tout nombre réel $x$, $p(x)≤p(3)$.

On commence par calculer: $p(3)=-2×(3-3)^2+5=5$.
Il suffit donc de montrer que: pour tout nombre réel $x$, $p(x)≤5$.
On a: $(x-3)^2≥0$ (car le membre de gauche est un carré).
Donc: $-2(x-3)^2≤0$ (car on a multiplié chaque membre de l'inéquation par un nombre strictement négatif).
Et donc: $-2(x-3)^2+5≤0+5$
Et par là: pour tout nombre réel $x$, $p(x)≤5$.
Donc, finalement, $p$ admet 5 comme maximum, et ce maximum est atteint pour $x=3$.
A retenir: un carré est toujours positif ou nul.