Corrigé

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,I,J).
On considère les points $A(1;2)$, $B(4;0)$, $C(6;3)$ et $D(x_D;y_D)$.
Un rappel important: une démonstration part toujours de l'énoncé ou de ce qui a déjà été prouvé auparavant.
Vous remarquerez donc que, dans ce qui suit, chaque début de réponse est soit une phrase de l'énoncé, soit un résultat prouvé antérieurement.

1. A savoir ici: la formule donnant les coordonnées du milieu d'un segment.
$K(x_K;y_K)$ est le milieu du segment [AC].
Donc: $x_K={x_A+x_C}/{2}$ et $y_K={y_A+y_C}/{2}$
Soit: $x_K={1+6}/{2}=3,5$ et $y_K={2+3}/{2}=2,5$
Donc: $K(3,5;2,5)$.

2. A savoir ici: un parallélogramme possède des diagonales ayant le même milieu.
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Donc ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.
Or K est le milieu du segment [AC].
Donc K est aussi le milieu du segment [BD].
Donc: $x_K={x_B+x_D}/{2}$ et $y_K={y_B+y_D}/{2}$
Soit: $3,5={4+x_D}/{2}$ et $2,5={0+y_D}/{2}$
Donc: $3,5 ×2=4+x_D$ et $2,5×2=y_D$
Donc: $7-4=x_D$ et $5=y_D$
Soit: $3=x_D$ et $5=y_D$
Donc: $D(3;5)$.

3. La figure demandée est tracée ci-dessous.

A savoir ici: une conjecture est une "propriété" qui n'a pas encore été démontrée.
Nous conjecturons que le parallélogramme ABCD est un carré.

4. A savoir ici: la formule donnant la distance entre 2 points (dans un repère orthonormé).
Nous savons que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Démontrons que AC=BD.
On a: $AC=√{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}$
Soit: $AC=√{(6-1)^2+(3-2)^2}=√{5^2+1^2}=√26$
De même, on a: $BD=√{(x_D-x_B)^2+(y_D-y_B)^2}$
Soit: $BD=√{(3-4)^2+(5-0)^2}=√{(-1)^2+5^2}=√26$
Donc finalement, on obtient: AC=BD.
Par conséquent, le parallélogramme ABCD a ses diagonales de mêmes longueurs.
Donc le parallélogramme ABCD est un rectangle.

Nous savons que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Démontrons que AB=BC.
On a: $AB=√{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Soit: $AB=√{(4-1)^2+(0-2)^2}=√{3^2+(-2)^2}=√13$
De même, on a: $BC=√{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}$
Soit: $BC=√{(6-4)^2+(3-0)^2}=√{2^2+3^2}=√13$
Donc finalement, on obtient: AB=BC.
Par conséquent, le parallélogramme ABCD a 2 côtés consécutifs de mêmes longueurs.
Donc le parallélogramme ABCD est un losange.

Finalement, ABCD est à la fois un rectangle et un losange. Donc c'est un carré.
A retenir:
Pour montrer qu'un quadrilatère est un rectangle, il suffit de montrer que c'est un parallélogramme, et qu'il possède 2 diagonales de mêmes longueurs.
Pour montrer qu'un quadrilatère est un losange, il suffit de montrer que c'est un parallélogramme, et qu'il possède 2 côtés consécutifs de mêmes longueurs.
Pour montrer qu'un quadrilatère est un carré, il suffit de montrer que c'est à la fois un rectangle et un losange.

Remarque: le début de cet exercice peut aussi se traiter de façon vectorielle (voir l'exercice 2 sur les vecteurs)