Les autres fonctions de référence
I. La fonction inverse $f(x)={1}/{x}$
Propriété 1
La fonction inverse est définie sur $]-\∞;0[∪]0;+\∞[=\ℝ\\\{0\}={\ℝ}^{*}$
Elle est représentée par une hyperbole.
Cette hyperbole a pour centre de symétrie l'origine du repère.
En effet, pour tout nombre $x$, on a: $f(-x)=-f(x)$.
On dit que la fonction est impaire.
Tableau de valeurs et représentation graphique
Le X signifie que 0 n'a pas d'image.
Propriété 2
La fonction inverse admet le tableau de variation suivant.
Exemple 1
On suppose que $2< x< 3$ et $-5< t< -4$.
Encadrer ${1}/{x}$ et ${1}/{t}$.
Corrigé
On a: $2< x< 3$
Donc: ${1}/{2}> {1}/{x}> {1}/{3}$ ( car la fonction inverse est strictement décroissante sur ] $0$ ; $+\∞$ [ )
On a: $-5< t< -4$
Donc: ${1}/{-5}> {1}/{t}>{1}/{-4}$ ( car la fonction inverse est strictement décroissante sur ] $-\∞$ ; $0$ [] )
Propriété 3
La fonction inverse admet le tableau de signes suivant
On notera qu'un nombre et son inverse ont même signe.
Equations et inéquations
Les équations et inéquations de référence concernant la fonction inverse sont du type:
${1}/{x}=k$ , ${1}/{x}<k$ , ${1}/{x}≤k$ ,
${1}/{x}>k$ et ${1}/{x}≥k$ (où $k$ est un réel fixé).
Elles se résolvent facilement si l'on connaît l'allure de l'hyperbole représentant la fonction inverse (voir l'exemple 2).
La maîtrise de ces équations et inéquations permet de résoudre les équations ou inéquation du type:
${1}/{f(x)}=k$ et ${1}/{f(x)}<k$ et celles obtenues en remplaçant $<$ par $≤$ ou $>$ ou $≥$
(où $k$ est un réel fixé et $f$ une fonction "simple" ) (voir l'exemple 3).
Exemple 2
- Résoudre l'équation ${1}/{x}=0,7$
- Résoudre l'inéquation ${1}/{x}≤0,7$
- Résoudre l'inéquation ${1}/{x}≥0,7$
Corrigé
- $\D_E=\ℝ\\\{0\}$
$0$ est une valeur "interdite". Ce ne peut pas être une solution.
Résolution.
${1}/{x}=0,7$ $⇔$ $x={1}/{0,7}$ Donc: S$=\{{1}/{0,7}\}$
A retenir: si $a≠0$, alors: ${1}/{x}=a$ $⇔$ $x={1}/{a}$. - $\D_E=\ℝ\\\{0\}$
${1}/{x}≤0,7$ $⇔$ $x<0$ ou $x≥{1}/{0,7}$ Donc: S$=]-\∞;0$$[∪[$${1}/{0,7};+\∞[$
- $\D_E=\ℝ\\\{0\}$
${1}/{x}≥0,7$ $⇔$ $0<x≤{1}/{0,7}$ Donc: S$=]0;{1}/{0,7}$]
Exemple 3
Résoudre l'équation ${1}/{2x+1}-{2}/{5}=0$
Corrigé
On doit avoir: $2x+1≠0$. Soit: $x≠-{1}/{2}$
Donc le domaine d'étude est $\D_E=\ℝ\\\{-{1}/{2}\}$
Cela signifie que $-{1}/{2}$ est une valeur "interdite". Ce ne peut pas être une solution.
Résolution.
On commence par transposer $-{2}/{5}$ pour obtenir une équation du type ${1}/{f(x)}=k$.
${1}/{2x+1}-{2}/{5}=0$ $⇔$ ${1}/{2x+1}={2}/{5}$
$⇔$ $2x+1={5}/{2}$
$⇔$ $2x={5}/{2}-1$
$⇔$ $x={3}/{2}×{1}/{2}={3}/{4}$
S$=\{{3}/{4}\}$
On a bien entendu vérifié que ${3}/{4}$ n'est pas une valeur "interdite".
II. La fonction valeur absolue $f(x)=|x|$
Fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue est la fonction $f$ dédinie, pour tout $x$ réel, par: $f(x)=|x|$.
En particulier, si $x≤0$, alors $f(x)=-x$, et si $x≥0$, alors $f(x)=x$.
La fonction valeur absolue est représentée par 2 demi-droites issues de l'origine.
Exemple 3
Résoudre l'équation $|x|=2$, puis l'inéquation $|x|≤2$
Corrigé
$|x|=2$ $⇔$ $x=-2$ ou $x=2$ et donc:
S$=\{-2,2\}$
$|x|≤2$ $⇔$ $-2≤x≤2$ et donc:
S$=\[-2;2]$
