Droites du plan - Systèmes linéaires
I. Equations de droites
Propriété 1
Soient A et B deux points distincts du plan.
La droite (AB) est l'ensemble des points M du plan tels que les vecteurs ${AB}↖{→}$ et ${AM}↖{→}$ soient colinéaires.
Définition
Soit ${u}↖{→}$ un vecteur non nul et $d$ une droite.
${u}↖{→}$ est un vecteur directeur de $d$
si et seulement si
il existe deux points distincts A et B de $d$ tels que ${AB}↖{→}$ et ${u}↖{→}$ sont colinéaires.
Propriété 2
Soient A un point et ${u}↖{→}$ un vecteur non nul.
La droite passant par A et de vecteur directeur ${u}↖{→}$ est l'ensemble des points M du plan tels que les vecteurs ${u}↖{→}$ et ${AM}↖{→}$ soient colinéaires.
On remarque qu'une droite admet une infinité de vecteurs directeurs, tous non nuls et colinéaires.
Propriété 3
Soient $d$ et $d'$ deux droites de vecteurs directeurs respectifs ${u}↖{→}$ et ${u'}↖{→}$.
$d$ est parallèle à $d'$ $⇔$ ${u}↖{→}$ et ${u'}↖{→}$ sont colinéaires.
Dans tout ce qui suit, le plan est muni d'un repère.
Propriété 4
Si une droite $d$ a pour vecteur directeur ${u}↖{→}(-b;a)$, alors elle admet une équation du type $ax+by+c=0$ , où $c$ est un réel fixé.
"Réciproquement".
Si $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixés tels que $(a;b)≠(0;0)$,
alors l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient l'équation $ax+by+c=0$
est une droite $d$ de vecteur directeur
${u}↖{→}(-b;a)$
L'équation $ax+by+c=0$ est dite équation cartésienne de la droite $d$.
Exemple
- Tracer la droite $d$ d'équation cartésienne $2x-3y+1=0$
- Donner un vecteur directeur ${u}↖{→}$ de la droite $d$.
- Le point $N(4;3)$ est-il sur $d$?
- Le point $P(5;7)$ est-il sur $d$?
Corrigé
-
Pour trouver 2 points de $d$, il suffit, par exemple,
de remplacer $x$ par 0 dans l'équation cartésienne, et de déterminer $y$,
ou de remplacer $y$ par 0, et de déterminer $x$
Ainsi, $x=0$ donne: $2×0-3y+1=0$, et par là: $y={1}/{3}$
et $y=0$ donne: $2x-3×0+1=0$, et par là: $x={-1}/{2}$
La droite $d$ passe par les points $A(0;{1}/{3})$ et $B({-1}/{2};0)$.
D'où le tracé qui suit.
Comme les 2 points proposés sont proches, on peut en chercher un troisième, en posant, par exemple, $x=3$, ce qui donne $y={7}/{3}$ (la croix rouge sur le graphique)
- $d$ a pour équation cartésienne $2x-3y+1=0$.
On pose: $a=2$, $b=-3$ et $c=1$.
$d$ a pour vecteur directeur ${u}↖{→}(-b;a)$
Soit: ${u}↖{→}(3;2)$
- On calcule: $2x_N-3y_N+1=2×4-3×3+1=0$
Les coordonnées de N vérifient bien l'équation cartésienne de $d$.
Donc le point $N(4;3)$ est sur $d$. - On calcule: $2x_P-3y_P+1=2×5-3×7+1=-10$
Donc: $2x_P-3y_P+1≠0$
Les coordonnées de P ne vérifient pas l'équation cartésienne de $d$.
Donc le point $P(5;7)$ n'est pas sur $d$.
Propriété 5
Soit $d$ la droite du plan d'équation cartésienne $ax+by+c=0$
Si $b≠0$, alors $d$ a pour équation réduite: $y={-a}/{b}x-{c}/{b}$
Son coefficient directeur est égal à ${-a}/{b}$
Si $b=0$, alors $d$ a pour équation réduite: $x=-{c}/{a}$
$d$ est alors parallèle à l'axe des ordonnées, et elle n'a pas de coefficient directeur.
Exemple
Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $A(-1;1)$ et de vecteur directeur ${u}↖{→}(3;2)$.
En déduire son équation réduite.
Corrigé
Méthode 1
Comme $d$ a pour vecteur directeur ${u}↖{→}(3;2)$, on pose: $-b=3$ et $a=2$.
Ce qui donne: $a=2$ et $b=-3$
Donc $d$ a une équation du type: $2x-3y+c=0$.
Et, comme $d$ passe par $A(-1;1)$, on obtient: $2×(-1)-3×1+c=0$.
Et par là: $c=5$
Donc $d$ a pour équation cartésienne: $2x-3y+5=0$.
Méthode 2
$M(x;y)∈d$ $⇔$ ${AM}↖{→}$ et ${u}↖{→}$ sont colinéaires.
Or ${AM}↖{→}$ a pour coordonnées: $(x+1;y-1)$.
Et ${u}↖{→}$ a pour coordonnées: $(3;2)$.
Donc: $M(x;y)∈d$ $⇔$ $(x+1)×2-3×(y-1)=0$
Donc: $M(x;y)∈d$ $⇔$ $2x+2-3y+3=0$
Donc: $M(x;y)∈d$ $⇔$ $2x-3y+5=0$
Ceci est une équation cartésienne de la droite $d$.
On note que: $2x-3y+5=0$ $⇔$ $-3y=-2x-5$ $⇔$ $y={-2x-5}/{-3}$ $⇔$ $y={2}/{3}x+{5}/{3}$
Quelque soit la méthode choisie pour trouver une équation cartésienne, on en déduit l'équation réduite:
$y={2}/{3}x+{5}/{3}$
Attention !
Une droite admet une unique équation réduite mais une infinité d'équations cartésiennes (toutes proportionnelles).
On note que, si ${u}↖{→}(-b;a)$ et ${u'}↖{→}(-b';a')$, alors $det({u}↖{→},{u'}↖{→})=a'b-ab'$
D'où la propriété qui suit.
Propriété 6
Deux droites d'équations cartésiennes $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$ sont parallèles
si et seulement si
$ab'-a'b=0$
Exemple
Les droites d'équation cartésienne ${2}/{3}x-{5}/{7}y+{11}/{13}=0$ et $-{8}/{7}x+{9}/{8}y+{11}/{13}=0$ sont-elles parallèles?
Corrigé
On pose: $a={2}/{3}$, $b=-{5}/{7}$ et $a'=-{8}/{7}$, $b'={9}/{8}$.
On calcule $ab'-a'b={2}/{3}×{9}/{8}-(-{8}/{7})×(-{5}/{7})={18}/{24}-{40}/{49}=-{13}/{196}$
Donc: $ab'-a'b≠0$
Donc les droites ne sont pas parallèles.
II. Intersection de deux droites
Méthode
Considérons deux droites $d_1$ et $d_2$, d'équations connues, et dont on cherche à déterminer les coordonnées du point d'intersection, s'il existe.
On détermine les équations réduites de $d_1$ et de $d_2$.
On se retrouve dans l'un des 3 cas suivants:
1. a. Soit les coefficients directeurs sont identiques et les ordonnées à l'origine sont différentes.
Les droites sont alors strictement parallèles. Le point d'intersection n'existe pas.
1. b. Soit les équations sont du type $x=k_1$ et $x=k_2$ avec $k_1≠k_2$.
Les droites sont alors strictement parallèles. Le point d'intersection n'existe pas.
2. Soit les équations réduites sont identiques. Les droites sont confondues. Elles ne sont pas sécantes.
3. Soit les coefficients directeurs sont différents. Les droites sont sécantes.
Il suffit alors d'isoler une inconnue (très souvent $y$) dans l'équation réduite de $d_1$, puis de remplacer cette inconnue par son expression dans l'équation réduite de $d_2$.
Les inconnues se déterminent alors très facilement (voir l'exemple qui suit, question 5).
Exemple
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,I,J).
Déterminer algébriquement les coordonnées du point d'intersection des droites $d_1$ et $d_2$ dans chacun des cas suivants.
1. $d_1$ a pour équation: $y=2x+1$ et $d_2$ a pour équation: $y=2x+3$
2. $d_1$ a pour équation: $x=-3$ et $d_2$ a pour équation: $x=2$
3. $d_1$ a pour équation: $x+y-4=0$ et $d_2$ a pour équation: $y=-x+4$
4. $d_1$ a pour équation: $x=6$ et $d_2$ a pour équation: $2x-12=0$
5. $d_1$ a pour équation: $y=2x+1$ et $d_2$ a pour équation: $y=-x+4$
Corrigé
1. $d_1$ a pour équation: $y=2x+1$ et $d_2$ a pour équation: $y=2x+3$
Les coefficients directeurs sont identiques (ils valent 2) et les ordonnées à l'origine sont différentes (elles valent 1 et 3).
Les droites sont alors strictement parallèles. Le point d'intersection n'existe pas.
2. $d_1$ a pour équation: $x=-3$ et $d_2$ a pour équation: $x=2$
Les équations sont du type $x=k_1$ et $x=k_2$ avec $k_1≠k_2$ (ici $-3$ et 2).
Les droites sont alors strictement parallèles. Le point d'intersection n'existe pas.
3. $d_1$ a pour équation: $x+y-4=0$ (c'est une équation cartésienne), soit: $y=-x+4$ (c'est l'équation réduite).
Et $d_2$ a pour équation: $y=-x+4$
Les équations réduites sont identiques. Les droites sont confondues. Elles ne sont pas sécantes.
4. $d_1$ a pour équation: $x=6$.
Et $d_2$ a pour équation: $2x-12=0$, soit $2x=12$, soit: $x=6$
Les équations réduites sont identiques. Les droites sont confondues. Elles ne sont pas sécantes.
5. $d_1$ a pour équation: $y=2x+1$ et $d_2$ a pour équation: $y=-x+4$
Remplacer $y$ par son expression dans la seconde équation permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans dans la seconde équation
On obtient: $2x+1= -x+4$
Soit: $2x+x=4-1$
Soit: $3x=3$
Soit: $x={3}/{3}=1$
Et, en remplaçant $x$ par sa valeur dans la première équation, on obtient: $y=2×1+1=3$
Donc les coordonnées du point d'intersection des deux droites sont $x=1$ et $y=3$.
Exemple
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,I,J).
1. Tracer les droites d'équations: $x-3y+3=0$ et $x-y-1=0$
2. Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
3. Déterminer algébriquement les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
Corrigé
1.
Méthode 1: A savoir: une égalité du type $ax+by+c=0$
(avec $a$ et $b$ non tous les deux nuls) est une équation cartésienne de droite.
Il est facile d'en trouver 2 points en remplaçant, par exemple, $x$ par 0 pour l'un, et $y$ par 0 pour l'autre.
La première équation est associée à la droite $d_1$ passant par les points $A(0;1)$ et $B(-3;0)$.
Ici, pour trouver A, on a écrit: $0-3y+3=0$, ce qui a donné: $y=1$.
Et pour trouver B, on a écrit: $x-3×0+3=0$, ce qui a donné: $x=-3$.
De même, la seconde équation est associée à la droite $d_2$ passant par les points $C(0;-1)$ et $D(1;0)$.
D'où les tracés suivants:
Méthode 2: Cette méthode consiste à retrouver les équations réduites des droites associées à chaque équation.
$\{\table x-3y+3=0; x-y-1=0$ $⇔$ $\{\table -3y=-x-3; -y=-x+1$ $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; y=x-1$
La droite $d_1$ d'équation $y={1}/{3}x+1$ passe par $A(0;1)$ et son coefficient directeur vaut ${1}/{3}$.
La droite $d_2$ d'équation $y=x-1$ passe par $C(0;-1)$ et son coefficient directeur vaut $1$.
On retrouve les tracés obtenus avec la première méthode.
2. Graphiquement, on constate que $d_1$ et $d_2$ se coupent au point K de coordonnées $(3;2)$.
3.
Les deux droites ont des coefficients directeurs différents. Elles sont donc sécantes.
Les coordonnées du point d'intersection vérifient $y={1}/{3}x+1$ et $y=x-1$
Remplacer $y$ par son expression dans la seconde équation permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans dans la seconde équation
On obtient: ${1}/{3}x+1= x-1$
Soit: $-x+{1}/{3}x=-1-1$
Soit: $-{2}/{3}x=-2$
Soit: $x=-2×(-{3}/{2})=3$
Et, en remplaçant $x$ par sa valeur dans la première équation, on obtient: $y={1}/{3}×3+1=2$
Donc les coordonnées du point d'intersection des deux droites sont $x=3$ et $y=2$.